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Convergence d'une série

Posté par
manu_du_40 09-09-20 à 23:04

Bonsoir à tous :

je me remets aux mathématiques du supérieur après plus de 10 ans d'abstinence en vue de préparer l'agrégation interne donc veuillez m'excuser par avance si ma question manque de pertinence.

L'énoncé :
Soit F la suite de Fibonacci (F_0=0 ; F_1=1 et F_{n+2}=F_{n+1}+F_n).
Justifier l'existence et trouver la valeur de la somme \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{F_k}{2^k}


Ce que j'ai fait :

Soit S_n la suite des sommes partielles et S la somme demandée. On a :

S_n=\dfrac{1}{2} + \sum_{k=2}^{n}\dfrac{F_k}{2^k} \\ =\dfrac{1}{2} + \sum_{k=2}^{n}\dfrac{F_{k-2}}{2^k}+ \sum_{k=2}^{n}\dfrac{F_{k-1}}{2^k}\\ \\ = \dfrac{1}{2} + \sum_{j=0}^{n-2}\dfrac{F_{j}}{2^{j+2}}+ \sum_{l=1}^{n-1}\dfrac{F_l}{2^{l+1}} \\ \\ =\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} \sum_{j=0}^{n-2}\dfrac{F_{j}}{2^j}+ \dfrac{1}{2}\sum_{l=0}^{n-1}\dfrac{F_l}{2^l}  

Et à partir de là, j'ai un doute même si le résultat final semble correct d'après le tableur :

par passage à la limite, S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}S+\dfrac{1}{2}S donc S=2.

Je ne sais pas si le passage à la limite est autorisé ici puisque je n'ai jamais vraiment montré la convergence de la série...

D'avance, merci pour votre aide.
Manu

Posté par
etniopalre : Convergence d'une série 09-09-20 à 23:39

      Soit E l'ensemble des suites u : telles que u(n+2) - u(n+1) - u(n) = 0   , P := X² - X - 1  et a , b les racines de P .
   Montre que les suites  v  : n an  et w : n bn sont dans E et que toute u de E est de la forme   .v + .w  .

   Tu auras alors une expression des  Fn   qui te permettra de montrer que ta suite n Sn /converge vers un réel .



Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 12:29

Ok etniopal, j'essaie :

(F_n) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 de polynôme caractéristique P(X)=X²-X-1. Les racines de ce polynôme sont a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} et b=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} .

La suite (v_n) définie par v_n=a^n vérifie la relation de récurrence car a^{n+2}-a^{n+1}-a^n=a^n(a^2-a-1)=0 car a est racine du polynôme.
De même pour la suite (w_n)

De même, la suite (\lambda a^n+ \mu b^n) vérifie la relation de récurrence car on va obtenir en factorisant :
\lambda a^n(a^2-a-1)+ \mu b^n(b^2-b-1)=0

Je n'ai pas réussi à montrer que les suites de la forme \lambda v + \mu wsont les seules qui vérifient la relation de récurrence


Ensuite, j'ai dit que F_n=\lambda \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n+\mu \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n

On calcule \lambda et \mu à l'aide de F_0 et F_1 :

\begin{cases} \lambda + \mu =0 \\ \lambda a + \mu b =1 \end{cases}

On trouve \lambda = \frac{1}{\sqrt{5}} et \mu=-\frac{1}{\sqrt{5}}

Ainsi, F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n

On en revient à la série S :

\sum{\dfrac {F_k}{2^k}}\\ \\ =\sum \left({\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^k-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4} \right)^k}\right) \\ \\ = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \sum\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^k - \dfrac{1}{\sqrt{5}} \sum  \left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4} \right)^k}

Les deux séries de la ligne précédente convergent car elles sont géométriques de raison |q|<1 ce qui montre la convergence de la série S.

Merci etniopal.

Posté par
carpediemre : Convergence d'une série 10-09-20 à 13:59

salut

cependant j'aimerai bien savoir comment démontrer la convergence de la série sans passer par l'expression des termes de la suite de fibo et donc par la théorie des suites récurrentes ...

sinon pour revenir à ta question : ton raisonnement est correct (passage à la limite dans l'égalité) ... et tu peux vérifier le résultat avec les suite géométriques que tu as trouvées à 12h29 ...

Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 14:14

Bonjour carpediem.

Lorsque tu dis que mon raisonnement est correct, cela signifie qu'il n'est pas nécessaire de montrer la convergence de la série pour passer à la limite ?

Posté par
carpediemre : Convergence d'une série 10-09-20 à 14:34

non je dis que tant que tu travailles avec des sommes finies tu peux faire ce que tu veux (de valide bien sûr) et comme tu l'as fait

par contre pour le passage à la limite il faut absolument montrer la convergence de la somme ... et alors le passage à la limite sera valide

si s = +oo tu "écrirais" +oo = +oo qui est une trivialité sans intérêt ou une "horreur" éventuellement (par exemple si c'était périodique on pourrait arriver à écrire un truc du genre 0 = 1)

pour l'instant je ne vois pas comment montrer la convergence de cette série (enfin simplement) sans passer par l'expression de termes ...

Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 14:44

D'accord carpediem,

j'en reviens donc au point qu'il me reste à voir dans mon post de 12:29,

je n'ai pas réussi à montrer que les suites de la forme \lambda v + \mu wsont les seules qui vérifient la relation de récurrence :

Mon idée serait de dire que l'ensemble E des suites qui vérifient u(n+2)-u(n+1)-u(n)=0 est un s-e-v de \mathbb{R}^{\mathbb{N}} puisque E est non vide (contient la suite de Fibonacci) et  j'ai montré que si v, w  sont dans E, toute combinaison linéaire de ces suites est aussi dans E.

Reste à prouver que ce s.e.v est de dimension 2 et que (a^n,b^n) en est une base... mais là, je bloque encore.
Mais peut être que je ne pars pas non plus sur la bonne piste.

Posté par
carpediemre : Convergence d'une série 10-09-20 à 15:22

une suite de E est entièrement déterminée par la donnée des deux premiers termes u_0 et u_1 (et la relation de récurrence) donc la dimension de E est 2 ...

la suite est alors (a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, ...)

la suite de Fibonacci est le cas particulier a = 0 et b = 1

Posté par
luzakre : Convergence d'une série 10-09-20 à 15:54

Bonjour !
On peut s'en sortir sans connaître le résultat sur les récurrences d'ordre 2 mais c'est un peu « bazooka ...»
La série donnée est à termes positifs et on essaie d'utiliser la condition suffisante de d'Alembert.

Si z_n=\dfrac{F_{n+1}}{2^{n+1}}\dfrac{2^n}{F_n}=\dfrac{F_{n+1}}{2F_n} alors z_{n+1}=\dfrac12+\dfrac1{4z_n} et cette suite converge (ce n'est pas très difficile) vers le point fixe positif de x\mapsto\dfrac12+\dfrac1{4x} qui est strictement inférieur à 1, ce qui permet d'utiliser la condition de d'Alembert.

Posté par
etniopalre : Convergence d'une série 10-09-20 à 16:13

  C'est du classique :
            E est de dimension 2  .
----------------------------

On peut aussi montrer qu'il existe r > 0 et s   ]0 , 2[  tels que Fn < r.sn pour tout n .

Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 16:49

Re,

et tout d'abord, merci à tous pour votre aide.
Il me manque beaucoup d'automatismes car tout cela remonte à assez loin déjà. Je vais donc rester sur la méthode de etniopal car la condition de d'Alembert, je ne me souviens que du nom .

Citation :
une suite de E est entièrement déterminée par la donnée des deux premiers termes u_0 et u_1 (et la relation de récurrence) donc la dimension de E est 2 ...


Je suis d'accord avec le début de votre phrase carpediem.
Mais je pensais que pour calculer la dimension d'un s.e.v, il fallait d'abord en trouver une base (donc ici deux suites de E qui permettent d'écrire n'importe quelle autre suite de E comme combinaison linéaire de dites deux suites).

Comme on est dans un espace vectoriel de suites, en quoi la donnée de deux nombres réels (u_0 et u_1) permet de conclure sur la dimension ?
Je n'arrive pas à faire le lien entre u_0 , u_1 et la base (a^n, b^n) évoquée plus haut par etniopal.

Manu

Manu

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 10-09-20 à 16:52

etniopal @ 10-09-2020 à 16:13

  C'est du classique :
            E est de dimension 2  .
----------------------------

On peut aussi montrer qu'il existe r > 0 et s   ]0 , 2[  tels que Fn < r.sn pour tout n .

s=1,9 convient

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:21

Salut,

Je m'incruste à tort peut être, mais pourquoi pas montrer que ((a^n), (b^n)) est libre

C_1a^n+C_2b^n= 0, \forall n\in \N\implies C_1=C_2=0

pour n=0 on a C_1=-C_2

n=1 on a C_1a-C_1b=0\iff C_1(a-b)=0\iff C_1=0 $ ou $a-b=0 donc C_1=0, il s'ensuit que C_2=0

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:38

j'ajoute : génératrice + libre = base

Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:40

Bonjour mousse 42.

Je suis d'accord, la famille ((a^n),(b^n)) est libre mais si on n'est pas certain que la dimension de E est 2, cela ne suffit pas pour conclure qu'elle est aussi génératrice.

En feuilletant un livre, je crois avoir fini par comprendre le théorème implicitement utilisé par carpediem à 15:22.

Je l'énonce tel qu'il est écrit :
Soit E et F deux K-e-v puis f \in L(E,F)
Si f est un isomorphisme, alors dim E = dim F

Je pense du coup que l'on peut ici utiliser l'application

\Phi : R^2 \rightarrow E \\ \\   (u_0;u_1) \mapsto (u_n)

qui est clairement bijective...
Si carpediem pouvait confirmer juste pour être sûr, ce serait sympa.

Et encore une fois, merci à tous...

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:42

ah, oui j'ai compris.

Ce que dit carpediem est que la famille est génératrice, donc dim E\le 2, c'est ce qu'il a voulu dire

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:47

Si toutes les suites qui vérifient la relation de récurrence citée plus haut sont de la forme C_1a^n+C_2b^n, il me semble que ça suffit pour dire que ((a^n), (b^n)) est génératrice, il me semble...

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:49

Autre méthode:

Si on note U_n la suite des sommes partielles; on a la relation:

U_n = \frac{1}{2} U_{n-1} + \frac{1}{4} U_{n-2} + 1

La suite est croissante, et on peut facilement montrer qu'elle est majorée par 4....

Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:52

Citation :
Si toutes les suites qui vérifient la relation de récurrence citée plus haut sont de la forme C_1a^n+C_2b^n


C'est bien ce point là qui me gênait et que je cherche à démontrer. Mais il est vrai qu'on apprend ce théorème lorsque l'on voit les suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (en 1ère ou 2e année de sup je crois...)
Je ne trouvais cependant pas de démonstration accessible (du moins pour mon niveau)

Encore merci

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 17:59

il n'y a pas de théorème à savoir, si toutes les suites qui vérifient la relation de récurrence s'écrivent comme cité plus haut, il n'en existe aucune qui vérifient la relation de récurrence s'écrivant autrement que l'écriture cité plus haut.

Posté par
manu_du_40re : Convergence d'une série 10-09-20 à 18:09

Foxdevil @ 10-09-2020 à 17:49

Autre méthode:

Si on note U_n la suite des sommes partielles; on a la relation:

U_n = \frac{1}{2} U_{n-1} + \frac{1}{4} U_{n-2} + 1

La suite est croissante, et on peut facilement montrer qu'elle est majorée par 4....


Mais oui ! Par récurrence (double), ça marche super bien !
Par contre, je crois que la bonne relation est U_n = \frac{1}{2} U_{n-1} + \frac{1}{4} U_{n-2} + \red \dfrac{1}{2}

Pourquoi avez-vous pris 4 comme majorant et pas 2 ?

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 10-09-20 à 18:16

manu_du_40 @ 10-09-2020 à 18:09

Foxdevil @ 10-09-2020 à 17:49

Autre méthode:

Si on note U_n la suite des sommes partielles; on a la relation:

U_n = \frac{1}{2} U_{n-1} + \frac{1}{4} U_{n-2} + 1

La suite est croissante, et on peut facilement montrer qu'elle est majorée par 4....


Mais oui ! Par récurrence (double), ça marche super bien !
Par contre, je crois que la bonne relation est U_n = \frac{1}{2} U_{n-1} + \frac{1}{4} U_{n-2} + \red \dfrac{1}{2}

Pourquoi avez-vous pris 4 comme majorant et pas 2 ?
Oui pardon pour l'erreur...

Parce que j'ai pris vraiment très grossièrement sans regarder de plus près , mais oui 2 marche

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 10-09-20 à 18:26

(et aussi je n'avais pas la bonne relation, donc 2 ne marchait pas avec celle que j'avais mise, donc j'ai pris une valeur simple avec la relation que j'avais)

Posté par
carpediemre : Convergence d'une série 10-09-20 à 19:30

Foxdevil @ 10-09-2020 à 16:52

etniopal @ 10-09-2020 à 16:13

  C'est du classique :
            E est de dimension 2  .
----------------------------

On peut aussi montrer qu'il existe r > 0 et s   ]0 , 2[  tels que Fn < r.sn pour tout n .

s=1,9 convient
ouais j'en étais même arrivé à considérer : f_n \le 2^{n/2} (au moins à partir de pas très loin du début ...)

mousse42 : non je ne dis pas que la famille est génératrice

il a été dit que les suites af^n + bg^n où f est le nombre d'or, g son inverse et a et b des réels sont solutions de la relation de récurrence

d'autre part la détermination des deux premiers termes de cette suite suffisent à déterminer cette suite donc l'espace des solutions est de dimension 2 et c'est ce que dit manu_du_40 à 17h40 ...

luzak et Foxdevil : merci pour le truc ...

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 20:11

ok, j'avais pas compris la chose comme ceci :

Ce qui a été montré :

(\forall (x_n)\in \R^{\N})\Big[(\forall n\ge 2)(x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2})\implies (x_n) $ est une combinaison linéaire des vecteurs $ (a^n) $ et $ (b^n) $ de $   \R^{\N}\Big]

Et on en déduit que E est de dimension de 2 avec E=\Big\{(x_n)\in \R^{\N}, x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}, \forall n\ge 2\Big\}

Posté par
mousse42re : Convergence d'une série 10-09-20 à 20:18

dans "on en déduit [...]" : il faut comprendre : c'est une famille génératrice, on prouve que c'est une famille libre et on conclut que c'est une base

Posté par
etniopalre : Convergence d'une série 10-09-20 à 20:58

       Encore une méthode  .
    Soient   A :=  -1 + X  + X²  et   V la série entière (formelle)   n FnXn = F0  + F0X + .....
  Le produit A.V est un polynôme  B simple à identifier  .
V  est  donc une fraction rationnelle et ses pôles sont les racines  de A   càd  c  :=  -(1+5)/2 et d := ( -1+5)/2  .
Le rayon de convergence R de V est donc  R  =( -1+5)/2
On en déduit que   \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{F_k}{2^k} = V(1/2) puisque 1/2 < R .

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 10-09-20 à 21:35

etniopal @ 10-09-2020 à 20:58

       Encore une méthode  .
    Soient   A :=  -1 + X  + X²  et   V la série entière (formelle)   n FnXn = F0  + F0X + .....
  Le produit A.V est un polynôme  B simple à identifier  .
V  est  donc une fraction rationnelle et ses pôles sont les racines  de A   càd  c  :=  -(1+5)/2 et d := ( -1+5)/2  .
Le rayon de convergence R de V est donc  R  =( -1+5)/2
On en déduit que   \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{F_k}{2^k} = V(1/2) puisque 1/2 < R .
Super la méthode!
Juste une petite précision, le fait qu'on ait des pôles en c et d nous dit à priori seulement que le rayon est inférieur à la plus petite valeur absolue non? Comment sait-on qu'on a bien convergence sur ]-d;d[?

Posté par
etniopalre : Convergence d'une série 11-09-20 à 14:21

     le rayon est égal à la plus petite valeur absolue .

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 11-09-20 à 14:33

etniopal @ 11-09-2020 à 14:21

     le rayon est égal à la plus petite valeur absolue .
Pour quelle raison ?

Posté par
Foxdevilre : Convergence d'une série 11-09-20 à 14:57

Ya un petit résultat derrière quand même

Proposition 15

Posté par
etniopalre : Convergence d'une série 11-09-20 à 15:13

Jamais dit le contraire !!


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