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convergence de suite

Posté par
Errorsystem 19-09-22 à 18:27

Bonjour, je ne comprends pas comment résoudre un problème de maths. J'ai beau utiliser les techniques que je connais je ne vois pas comment faire, j'aimerai donc que quelqu'un m'aide svp..

Voici l'énoncé :

Montrer que la série de terme général u_{n} = \frac{n^2}{n!}
converge et calculer sa somme.

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
Errorsystemre : convergence de suite 19-09-22 à 18:57

Je ne sais pas comment faire pour supprimer cette page mais j'ai trouvé mes réponses en cherchant encore...

Si jamais d'autres sont dans la même galère, je laisse des pistes.

- Comparer Un+1 et Un puis étudier le signe de Un et s'aider d'un théorème usuel pour conclure sur la convergence

- Faire de simple changements d'indices judicieux pour trouver la somme

Posté par
Ulmierere : convergence de suite 19-09-22 à 19:26

Beaucoup plus simple

\dfrac{n^2}{n!} = \dfrac{n}{n-1}\dfrac{1}{(n-2)!} = \dfrac{1+1/(n-1)}{(n-1)!} \leqslant \dfrac{2}{(n-1)!} à partir d'un certain rang.

Puis comparaison à la série exponentielle

Ou alors on sort carrément la bombe atomique et on applique la formule de Stirling

Posté par
carpediemre : convergence de suite 19-09-22 à 20:21

salut

Ulmiere : une petite erreur d'ordre ce me semble-t-il :

\dfrac {n^2} {n!} = \dfrac n {n - 1} \dfrac 1 {(n - 2)!} = \dfrac 1 {(n - 2)!} + \dfrac 1 {(n - 1)!} \le \dfrac{2}{(n - 2)!}

car n - 2 < n - 1 donc (n - 2)! < (n - 1)! donc inversion de l'ordre des inverses ...

Posté par
Ulmierere : convergence de suite 19-09-22 à 20:26

Il y a bien une petite erreur mais pas à cause des inverses
En fait je voulais écrire

\dfrac{n^2}{n!} = \dfrac{n}{n-1}\dfrac{1}{(n-2)!} = \dfrac{1+1/(n-1)}{(n-2)!} \leqslant \dfrac{2}{(n-2)!}

Tout simplement parce que \dfrac{n}{n-1} = 1 + \dfrac{1}{n-1}< 2

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence de suite 19-09-22 à 20:35

Bonjour


On peut aussi penser à faire les deux tâches simultanément (convergence et somme) en écrivant pour tout entier n\geqslant2 :


\boxed{\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{k!}=\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^n\frac{k-1+1}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{(k-1)!}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k-1)!}=\sum_{k=2}^n\frac{1}{(k-2)!}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{k!}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}} ... sauf erreur bien entendu

Posté par
carpediemre : convergence de suite 19-09-22 à 20:49

ouais en fait j'attendais pour écrire que n^2 = n^2 - n + n = n(n - 1) + n

puis diviser par n!

Posté par
matheux14re : convergence de suite 29-09-22 à 20:55

elhor_abdelali @ 19-09-2022 à 20:35

Bonjour


On peut aussi penser à faire les deux tâches simultanément (convergence et somme) en écrivant pour tout entier n\geqslant2 :


\boxed{\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{k!}=\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^n\frac{k-1+1}{(k-1)!}=\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{(k-1)!}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k-1)!}=\sum_{k=2}^n\frac{1}{(k-2)!}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k-1)!}=\sum_{k=0}^{n-2}\frac{1}{k!}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}} ... sauf erreur bien entendu


Bonsoir, vous trouvez 2e - 1 au final ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence de suite 30-09-22 à 20:39

Je trouve plutôt \Large\boxed{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{k^2}{k!}=2e} sauf erreur bien entendu


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