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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Convergence de suite trigonométrique
Posté par ThomasScc
Bonjour !
J'ai un devoir maison à finir et je bloque sur un des exercices, voilà l'énoncé:
Soit a un réel tel que la suite (sin(na)) converge vers l.
1.Montrer que la suite (cos2(na)) converge vers 1-l2
2.Montrer que l=0 (utiliser une expression de cos(2na))
3.Montrer que sin(a)=0 et donc que a est un multiple entier de 
(utiliser une expression de sin((n+1)a))
4.Soit un=cos((
2)n*) n
N
Trouver une sous-suite convergente de un.
[/url]
1) J'utilise simplement la formule cos2+sin2=1 pour trouver que cos2=1-sin2 donc la limite vaut 1-l2 puisqu'on pose l=limite de sin(na)
2) L'énoncé me demande d'utiliser une expression de cos(2na). J'utilise cos(2na)=cos^2(na)-sin^2(na)
Du coup lim(cos(2na))= 1-l2 - l2 = 1-2l2
Mais une fois que j'ai ça je ne sais pas comment relier ça à ce qu'on recherche 
3) Là je ne sais absolument pas quoi faire
Merci d'avance à ceux qui auraient des pistes !
malou edit> ** énoncé reopié après coup, merci 
**
Autant pour moi je pensais que c'était uniquement les liens extérieurs qui étaient interdits.
J'ai pas l'impression qu'on puisse modifier le post donc je remets l'énoncé à l'écrit ici (sinon je referai un post si ça ne convient pas et que j'arrive à supprimer celui-là):
Soit a un réel tel que la suite (sin(na)) converge vers l.
1.Montrer que la suite (cos2(na)) converge vers 1-l2
2.Montrer que l=0 (utiliser une expression de cos(2na))
3.Montrer que sin(a)=0 et donc que a est un multiple entier de (utiliser une expression de sin((n+1)a))
4.Soit un=cos((2)n*) nN
Trouver une sous-suite convergente de un.
que dire de la suite (cos2(2na)) ? D'après ce que j'ai fait avant on peut dire qu'elle admet une limite finie. Je sais pas si c'est pertinent mais c'est la seule chose que je vois sinon je sais pas grand chose sur elle
J'ai regardé un peu sur internet et j'ai trouvé une formule qui donne
cos2(2na)=(2cos2(na)-1)2
Je peux peut-être m'en servir
j'ai bien écrit ce que j'ai écrit !!!
carpediem @ 16-10-2022 à 11:35
que dire de la suite (cos2 (2na)) ?
c'est une sous-suite de la suite (cos2 (na)) !!
que dire de la suite (cos2 (2na)) ?
Si cos2(2na) est une sous-suite de cos2(na) alors cos2(2na) admet la même limite que cos2(na) qui est 1-l2
Je ne sais pas trop ce que vous aviez derrière la tête en parlant de cos2(2na) donc j'avoue que la déduction de ça m'échappe du coup :/
Désolé j'ai l'impression que vous faites tout le travail pour moi 
et alors ?
tu ne sais pas élever la première égalité au carré ... et dire que c'est la même chose que la deuxième ?
(1-2l2)2=1-4l2+4l4
D'où 4l4-3l2=0
l2(4l2-3)=0
Donc l2=0 d'où l=0
mais j'ai aussi la possibilité que l soit égale à rac(3)/2 non ?
ok ... donc il faut essayer d'éliminer ces solutions non nulles ...
PS : l'équation 4x^2 - 3 = 0 possède deux solutions opposées ...
donc voir ce qui se passe si on supposait que l soit une de ces valeurs ...
J'avoue ne pas savoir où trouver une contradiction pour montrer que l 
rac3/2
J'ai vérifié que les différentes limites exprimées en fonction de l soient bien comprises dans l'intervalles des fonctions associées:
rac3/2 est compris entre -1 et 1 donc à priori il il n'y a pas de contradiction avec le fait que ce soit la limite de sin(na)
Idem pour -rac3/2
si l=rac3/2 ou -rac3/2 alors l2=3/4.
1-3/4=1/4 qui est compris entre 0 et 1 donc pas de contradiction avec le fait d'être la limite de cos2(na)
On a lim(cos(2na))=1-2l2
si l=rac3/2 ou -rac3/2 alors l2=3/4 et lim(cos(2na))=1-2*3/4= 1-6/4= -0.5 qui est toujours compris entre -1 et 1
ben si la limite est nulle donc que sin (na) tend vers 0 alors avec l'indication :
sin [(n + 1)a] = sin [na + a] = ...