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Convergence de suite trigonométrique

Posté par
ThomasScc
16-10-22 à 11:15

Bonjour !

J'ai un devoir maison à finir et je bloque sur un des exercices, voilà l'énoncé:

Soit a un réel tel que la suite (sin(na)) converge vers l.
1.Montrer que la suite (cos2(na)) converge vers 1-l2
2.Montrer que l=0 (utiliser une expression de cos(2na))
3.Montrer que sin(a)=0 et donc que a est un multiple entier de (utiliser une expression de sin((n+1)a))
4.Soit un=cos((2)n*) nN
Trouver une sous-suite convergente de un.


Convergence de suite trigonométrique[/url]

1) J'utilise simplement la formule cos2+sin2=1 pour trouver que cos2=1-sin2 donc la limite vaut 1-l2 puisqu'on pose l=limite de sin(na)

2) L'énoncé me demande d'utiliser une expression de cos(2na). J'utilise cos(2na)=cos^2(na)-sin^2(na)

Du coup lim(cos(2na))= 1-l2 - l2 = 1-2l2
Mais une fois que j'ai ça je ne sais pas comment relier ça à ce qu'on recherche

3) Là je ne sais absolument pas quoi faire

Merci d'avance à ceux qui auraient des pistes !

malou edit> ** énoncé reopié après coup, merci **

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 11:30

salut

il faut écrire l'énoncé pour qu'il soit référencé sur le forum ... (lire la FAQ)

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 11:35

que dire de la suite (cos2(2na)) ?

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 11:51

Autant pour moi je pensais que c'était uniquement les liens extérieurs qui étaient interdits.


J'ai pas l'impression qu'on puisse modifier le post donc je remets l'énoncé à l'écrit ici (sinon je referai un post si ça ne convient pas et que j'arrive à supprimer celui-là):

Soit a un réel tel que la suite (sin(na)) converge vers l.
1.Montrer que la suite (cos2(na)) converge vers 1-l2
2.Montrer que l=0 (utiliser une expression de cos(2na))
3.Montrer que sin(a)=0 et donc que a est un multiple entier de (utiliser une expression de sin((n+1)a))
4.Soit un=cos((2)n*) nN
Trouver une sous-suite convergente de un.

que dire de la suite (cos2(2na)) ? D'après ce que j'ai fait avant on peut dire qu'elle admet une limite finie. Je sais pas si c'est pertinent mais c'est la seule chose que je vois sinon je sais pas grand chose sur elle

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 11:52

J'ai mal lu tu parlais vous parliez de cos2(na) pas de cos(2na), bah du coup je sais pas trop

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 11:56

J'ai regardé un peu sur internet et j'ai trouvé une formule qui donne

cos2(2na)=(2cos2(na)-1)2

Je peux peut-être m'en servir

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 12:15

j'ai bien écrit ce que j'ai écrit !!!

carpediem @ 16-10-2022 à 11:35

que dire de la suite (cos2 (2na)) ?
c'est une sous-suite de la suite (cos2 (na)) !!

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 13:12

Si cos2(2na) est une sous-suite de cos2(na) alors cos2(2na) admet la même limite que  cos2(na) qui est 1-l2

Je ne sais pas trop ce que vous aviez derrière la tête en parlant de cos2(2na) donc j'avoue que la déduction de ça m'échappe du coup :/

Désolé j'ai l'impression que vous faites tout le travail pour moi

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 14:47

et qu'as-tu trouvé à 11h15 ?

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 14:55

J'ai (cos(2na))= 1-2l2
et cos2(2na)=1-l2

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 15:19

et alors ?

tu ne sais pas élever la première égalité au carré ... et dire que c'est la même chose que la deuxième ?

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 15:41

(1-2l2)2=1-4l2+4l4

D'où 4l4-3l2=0
l2(4l2-3)=0
Donc l2=0 d'où l=0

mais j'ai aussi la possibilité que l soit égale à rac(3)/2 non ?

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 15:43

à partir de la 2e ligne je résous 4l4-4l2+1=1-l2

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 15:53

ok ... donc il faut essayer d'éliminer ces solutions non nulles ...

PS : l'équation 4x^2 - 3 = 0 possède deux solutions opposées ...

donc voir ce qui se passe si on supposait que l soit une de ces valeurs ...

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 16:16

J'avoue ne pas savoir où trouver une contradiction pour montrer que l rac3/2

J'ai vérifié que les différentes limites exprimées en fonction de l soient bien comprises dans l'intervalles des fonctions associées:

rac3/2 est compris entre -1 et 1 donc à priori il il n'y a pas de contradiction avec le fait que ce soit la limite de sin(na)
Idem pour -rac3/2

si l=rac3/2 ou -rac3/2 alors l2=3/4.

1-3/4=1/4 qui est compris entre 0 et 1 donc pas de contradiction avec le fait d'être la limite de cos2(na)

On a lim(cos(2na))=1-2l2
si l=rac3/2 ou -rac3/2 alors l2=3/4 et lim(cos(2na))=1-2*3/4= 1-6/4= -0.5 qui est toujours compris entre -1 et 1

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 18:12

ouais bien d'accord avec tout ce que tu dis ... et je ne vois pas où est le truc pour l'instant ...

Posté par
ThomasScc
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 19:07

Sinon avez-vous des pistes pour le 3) ? c'est la question où j'ai le moins d'idée

Posté par
carpediem
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 19:27

ben si la limite est nulle  donc que sin (na) tend vers 0 alors avec l'indication :

sin [(n + 1)a] = sin [na + a] = ...

Posté par
Pirho
re : Convergence de suite trigonométrique 16-10-22 à 20:39

Bonjour,

multipost interdit, voir ici



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