salut

un théorème n'a pas toujours de nom et plus généralement il peut y avoir de type de nom :

l'objet du théorème comme par exemple : le théorème du point fixe ou le théorème des valeurs intermédiaires

le nom du mathématicien (l'ayant démontré mais parfois nom) comme par exemple : les théorèmes de Thalès, de Pythagore, de Fermat ou de Gauss ... mais qui ne précise pas forcément l'objet de ce théorème et pour les anciens parfois plusieurs théorème portent leur nom.

pour ta question ton énoncé est bien insuffisant et il faudrait nous donner un exemple plus concret ou du moins un énoncé plus complet et précis.

Voici un exemple :

Bonsoir,
le théorème en question me semble faux.

Un contre-exemple avec une fonction qui n'est même pas bornée au voisinage de +.

On défini les suites et par et quelque soit l'entier n strictement positif

Puis la fonction de dans lui même par
La courbe de cette fonction est formée de la droite y=0 loin des entiers et de triangles de plus en plus étroits et de plus en plus hauts.
Pour n entier strictement positif on a et l'aire du triangle autour du point d'abscisse n vaut

On a donc et f n'a pas de limite en +.

Merci Verdurin, impressionant et instructif !

Du coup, dans quelles seraient les hypothèses à minima sur f(t) pour qu'on puisse conclure que f(t) tend vers 0 qd t tend vers + infini, quand son intégrale impropre est convergente

Je ne connais pas de conditions minimales.
Je pense qu'il suffit que f soit lipschitzienne mais je n'en suis pas certain.

Pour donner un autre contre-exemple on a les intégrales de Fresnel :

que l'on retrouve dans les spirales de Cornu

Merci Verdurin pour ce tourbillon de notions
Je ne connaissais pas les fonctions lipschitziennes et les spirales de Cornu, j'ai regardé, top merci !

Je pensais à une fonction continue comprise entre [0, 1], mais ton contre-exemple avec sin² ou cos² m'a achevé.

Du coup, je pose la question autrement. Il y a quoi comme théorème ou autre qui parlerait de la limite d'une intégrale impropre et de celle de sa fonction intrinsèque ?

À vrai dire je ne sais pas grand chose sur le sujet.
Je crois qu'il faut distinguer les intégrales absolument convergentes c'est dire que l'intégrale de la valeur absolue de la fonction converge de celles qui ne le sont pas.
Les intégrales de Fresnel ne sont pas absolument convergentes.

Attention   signifie et non

Au passage si quelqu'un de plus compétent que moi voulait bien intervenir . . .

Un résultat qui ressemble de dos à 500m au lemme de Gronwall

Citation :
Si f est une fonction continue définie sur telle que existe
Alors existe aussi

Voici un autre exemple de fonction contre-exemple, construite à partir d'une série convergente
Ici, la valeur absolue converge également

  sur    pour    et 0 ailleurs

Autrement dit,

Ainsi,  

On peut la trafiquer pour qu'elle ne soit pas bornée au voisinage de l'infini :


En multipliant par la partie entière de k et en réduisant l'intervalle d'un facteur k

EDIT : Je n'avais pas bien lu l'exemple de verdurin, en fait c'est quasiment la même chose sauf que la sienne est continue