Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Convergence intégrale impropre

Posté par
viziwi
18-01-24 à 10:47

Bonjour

J'ai découvert par hasard le concept d'intégrale impropre. Mon prof me disait que si cette intégrale impropre ∫  f(t) dt converge, alors f(t) converge vers 0
Pourriez-vous svp m'indiquer le nom de ce théorème ?

Posté par
carpediem
re : Convergence intégrale impropre 18-01-24 à 12:53

salut

un théorème n'a pas toujours de nom et plus généralement il peut y avoir de type de nom :

l'objet du théorème comme par exemple : le théorème du point fixe ou le théorème des valeurs intermédiaires

le nom du mathématicien (l'ayant démontré mais parfois nom) comme par exemple : les théorèmes de Thalès, de Pythagore, de Fermat ou de Gauss ... mais qui ne précise pas forcément l'objet de ce théorème et pour les anciens parfois plusieurs théorème portent leur nom.

pour ta question ton énoncé est bien insuffisant et il faudrait nous donner un exemple plus concret ou du moins un énoncé plus complet et précis.

Posté par
viziwi
re : Convergence intégrale impropre 18-01-24 à 15:19

Voici un exemple :
\int_{0 }^{+infini}{f(t) dt} = C On en conclut que la limite de f(t) = 0 qd t -> +infini

Posté par
verdurin
re : Convergence intégrale impropre 18-01-24 à 16:38

Bonsoir,
le théorème en question me semble faux.

Posté par
verdurin
re : Convergence intégrale impropre 18-01-24 à 18:29

Un contre-exemple avec une fonction qui n'est même pas bornée au voisinage de +.

On défini les suites (a_n) et (b_n) par a_0=b_0=0 et quelque soit l'entier n strictement positif a_n=n-\left(\frac14\right)^n, b_n=n+\left(\frac14\right)^n.

Puis la fonction f de [0\,;+\infty] dans lui même par f(x)=\begin{cases}0&\text{si }x\in[b_{n-1};a_n]\\ 8^n(x-a_n)&\text{si }x\in[a_n\,;n]\\-8^n(x-b_n)&\text{si }x\in[n\,;b_n]\end{cases}
La courbe de cette fonction est formée de la droite y=0 loin des entiers et de triangles de plus en plus étroits et de plus en plus hauts.
Pour n entier strictement positif on a f(n)=2^n et l'aire du triangle autour du point d'abscisse n vaut \left(\frac12\right)^n

On a donc \int_0^{+\infty}f(t)\text{d}t=1 et f n'a pas de limite en +.

Posté par
viziwi
re : Convergence intégrale impropre 19-01-24 à 09:10

Merci Verdurin, impressionant et instructif !

Du coup, dans quelles seraient les hypothèses à minima sur f(t) pour qu'on puisse conclure que f(t) tend vers 0 qd t tend vers + infini, quand son intégrale impropre est convergente \int_{0 }^{+infini}{f(t) dt}

Posté par
verdurin
re : Convergence intégrale impropre 19-01-24 à 12:35

Je ne connais pas de conditions minimales.
Je pense qu'il suffit que f soit lipschitzienne mais je n'en suis pas certain.

Pour donner un autre contre-exemple on a les intégrales de Fresnel :
\begin{aligned}\int_0^{+\infty} \sin t^2 \text{d}\,t=\int_0^{+\infty} \cos t^2 \text{d}\,t=\frac12\sqrt{\frac\pi2}\end{aligned}
que l'on retrouve dans les spirales de Cornu

Posté par
viziwi
re : Convergence intégrale impropre 21-01-24 à 16:15

Merci Verdurin pour ce tourbillon de notions
Je ne connaissais pas les fonctions lipschitziennes et les spirales de Cornu, j'ai regardé, top merci !

Je pensais à une fonction continue comprise entre [0, 1], mais ton contre-exemple avec sin² ou cos² m'a achevé.

Du coup, je pose la question autrement. Il y a quoi comme théorème ou autre qui parlerait de la limite d'une intégrale impropre et de celle de sa fonction intrinsèque ?

Posté par
verdurin
re : Convergence intégrale impropre 22-01-24 à 19:48

À vrai dire je ne sais pas grand chose sur le sujet.
Je crois qu'il faut distinguer les intégrales absolument convergentes c'est dire que l'intégrale de la valeur absolue de la fonction converge de celles qui ne le sont pas.
Les intégrales de Fresnel ne sont pas absolument convergentes.

Attention \sin t^2  signifie \sin (t^2) et non \bigl(\sin t \bigr)^2.

Posté par
verdurin
re : Convergence intégrale impropre 23-01-24 à 17:13

Au passage si quelqu'un de plus compétent que moi voulait bien intervenir . . .

Posté par
Ulmiere
re : Convergence intégrale impropre 24-01-24 à 12:48

Un résultat qui ressemble de dos à 500m au lemme de Gronwall

Citation :
Si f est une fonction continue définie sur \R_+ telle que \int_0^\infty f(t)dt existe
Alors \int_0^\infty e^{-t}f(t)dt existe aussi


Il n'y a aucune hypothèse sur le signe de f ou ses variations. Ca peut parfois servir pour des exos sur la transformée de Laplace.

Posté par
Zormuche
re : Convergence intégrale impropre 26-01-24 à 23:36

Voici un autre exemple de fonction contre-exemple, construite à partir d'une série convergente
Ici, la valeur absolue converge également

\Large f(x) = 1  sur  \Large\left[k, k+\frac{1}{2^k}\right]  pour  \Large k\in\N  et 0 ailleurs

Autrement dit, \Large f(x) = \mathbf{1}_{\cup_{k\in\N} \left[k, k+\frac{1}{2^k}\right]}(x)

Ainsi,  \Large\int_\R f(t)\,\mathrm{d}t ~=~\sum_{k\in\N}\int_k^{k+\frac{1}{2^k}} f(t)\,\mathrm{d}t~=~\sum_{k\in\N}\frac{1}{2^k}~=~2

On peut la trafiquer pour qu'elle ne soit pas bornée au voisinage de l'infini :

\Large g(x) = \lfloor k \rfloor \times \mathbf{1}_{\cup_{k\in\N} \left[k, k+\frac{1}{k\times 2^k}\right]}(x)
En multipliant par la partie entière de k et en réduisant l'intervalle d'un facteur k

Posté par
Zormuche
re : Convergence intégrale impropre 27-01-24 à 01:07

EDIT : Je n'avais pas bien lu l'exemple de verdurin, en fait c'est quasiment la même chose sauf que la sienne est continue



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1676 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !