Bonjour

Je propose une correction du Bac S Amérique du Nord 2000.

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On a :.

Ainsi que :

donc le point appartient au cercle . On note l'intersection de avec . On a d'après la question précédente :

car et sont situés sur la demi droite et donc et sont symétrique par rapport à l'axe .

Puis on place le point milieu du segment .

On se propose de déterminer l'ensemble décrit par lorsque décrit .

On pose l'affixe du point avec et réels. On a par ailleurs .

Or est le milieu du segment donc son affixe vérifie:







On pose alors d'où :

et ainsi ou encore

Or donc . En simplifiant cette expression peut s'écrire sous la forme :



En somme lorsque décrit le cercle , le point décrit l'ellipse de centre , de grand axe de longueur porté par l'axe des ordonnées et de petit axe de longueur porté par l'axe des abscisses.

L'affixe du point est :






, donc appartient au cercle trigonométrique. D'après la question 2a on a avec donc le point est le projeté orthogonal du point sur l'axe des ordonnées.

Soit le point d'affixe et le point d'affixe , alors d'après b) on en déduit que décrit le segment lorsque décrit .

Les point et sont confondus si leur affixe sont égales , ce qui revient à résoudre l'équation :







ou (ces nombres conviennent car non nuls).

Les points recherchés sont les points et .

Développons l'expression suivante :




Déterminons alors les points du plan complexe pour lesquels l'affixe de est , cela revient à résoudre :










ou (ces nombres car non nuls)

Les points recherchés sont les points et d'affixes respectives et .

On pose , exprimons en fonction de et la partie réelle et imaginaire de l'affixe de :










On a donc



Résolvons :






L'ensemble est l'axe des abscisses privé de l'origine.



Résolvons :






On en conclue que l'ensemble est la réunion de l'axe des ordonnées privée de l'origine et du cercle .




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