u(k) = 1/(k(k+1)) = (1/k) - (1/(k+1))

On recopie alors la série comme suit:

Sn = 1/1*2   +  1/2*3   +  1/3*4  +.... +  1/n(n+1)  

Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) +  ... + ((1/n) - (1/(n+1)))

Tout se simplifie sauf les extrèmes ->

Sn = 1 - (1/(n+1))
Cela confirme ton résultat.
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Sn = 45/46 = 1 - (1/(n+1))
1/(n+1) = 1 - (45/46)
1/(n+1) = 1/46
n+1 = 46
n = 45
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x <= 4.(-x)
x >= x³

x <= -4x
5x <= 0
x <= 0   (1)

x >= x³   avec (1): x = 0 convient   (2)
Si x différent de 0 , mais < 0 (par (1))
1 <= x²
x² >= 1  et avec (1) ->
x dans ]-oo ; -1] convient  (3)

(2) et (3) ->
x dans ]-oo ; -1] U {0} convient.
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Sauf distraction.