Merci pour ton retour.
Je viens de penser à une autre méthode.
Supposons
croissante.
Raisonnons par l'absurde en supposant que
n'est pas majorée par
.
est croissante, donc soit
converge, soit
diverge vers
d'après le théorème de la limite monotone.
(*) Si
converge, disons vers
, alors
car
est croissante et non majorée par
.
On a alors
qui converge vers
également, ce qui est absurde vu que
converge vers
.
(*) Si
diverge vers
, alors
diverge également vers
(démonstration analogue à celle de la question 1 en utilisant la définition de la limite). D'où l'absurdité.
Dans les deux cas, on aboutit à une absurdité, d'où
majorée par
.
De même si
est décroissante : soit elle converge, soit elle diverge vers
d'après le théorème de la limite monotone.
Conclusion : si
est monotone, alors
et
ont le même comportement.