Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

corrigé banque pt 2003

Posté par
supengalere
08-12-13 à 17:08

bonjour a tous , voila je commence les revisions de mathematiques et notre professeur nous a conseillé de bosser les sujets de 2003 de la banque pt pour s'entrainer ! je ne trouve cepandant aucune correction sur le net , pourriez vous m'aider svp ? je vous remercie d'avance !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 18:21

Bonjour,

As-tu regardé ici ?

Il y a au moins deux sujets corrigés pour la banque PT de l'année 2003.

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 18:46

je ne connaissais pas ce site je ne trouve cepandant pas la partie 1-A ( celle ou j'ai le plus de difficulté )

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 18:51

C'est le site des professeurs de mathématiques de maths spé.

Effectivement, il n'y a pas le corrigé du sujet I-A...

Pose tes questions ici ; le forum est là pour ça

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 18:52

c'est notamment la partie sur les suites qui me posent probleme ...

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 18:59

et bien voila on note un une suite réelle et an=(u1+u2+...+un)/n la moyenne arithmetique de ses n premiers termes :
1) on se propose de montrer que si la suite (un) converge vers l alors la suite an converge vers l . soit epsilon >0 :
a)montrer qu'il existe n0 etl que pour tout n , n >no entraine abs(un-l)=epsilon /2
...
je ne vois pas comment me depatouiller a part avec la defintion qui me dit que >0,N,n>N,abs(un-l)<

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 19:08

Il s'agit du théorème de Cesaro. C'est bien que tu sois amené à le voir via ce problème parce que c'est un exercice classique de prépa et il est donc mieux de l'avoir d'avoir vu avant d'arriver aux concours

Tu as écrit tout ce dont tu avais besoin. C'est parfait

Par hypothèse, (u_n) converge vers l \in \mathbb{R} donc \forall \varepsilon' >0, \exists n_0 \in \mathbb{N} / n > n_0 \Longrightarrow |u_n-l| < \varepsilon'.

Ceci est vrai pour tout \varepsilon'>0.

Donc, en particulier, pour \varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{2}.

D'où le résultat.

As-tu compris ?

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 19:19

cela semble evident une fois qu' on a la reponse haha merci beaucoup ! je vais continuer le sujet , j'aurais surement d'autre question !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 19:26

De rien

Je t'en prie, n'hésite pas pour la suite !

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 19:39

merci de ton aide disons que les demonstration d'existence ce n'est pas ma tasse de thé ! (je met le sujet a ta disposition pour plus de facilité) ! pour la question b) il suffit d'utiliser l'inegalité triangulaire
c) c'est le meme genre que question que la a)mais je ne vois pas comment me servir du resultat precedent ...

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 19:46

|u_1-l|+|u_2-l|+...+|u_{n_0}-l| n'est rien d'autre qu'une constante (ce terme ne dépend pas de n).

\dfrac{1}{n} converge vers 0 donc, comme pour la question a, \forall \varepsilon' > 0, \exists n_1 \in \mathbb{N} / n>n_1 \Longrightarrow \left|\dfrac{1}{n}-0\right| < \varepsilon'.

Donc, pour \varepsilon'=\dfrac{\varepsilon}{|u_1-l|+|u_2-l|+...+|u_{n_0}-l|}, \exists n_1 \in \mathbb{N} / n>n_1 \Longrightarrow \dfrac{|u_1-l|+|u_2-l|+...+|u_{n_0}-l|}{n} < \varepsilon.

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:21

ca , je ne l'aurais pas trouvé tous seul ! merci pour ces explications je commence a comprendre un peu l'esprit du concours !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:28

L'idée est toujours la même : revenir à la définition de la limite.

Mais j'avoue que ça peut ne pas sembler évident la première fois.

À garder en mémoire vu que le théorème de Cesaro est un résultat classique.

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:31

J'avais eu cette démonstration à faire dans un DM sur le sujet CCP PSI 2006 quand j'étais en spé. Tout ça pour dire que tu peux tomber dessus aux concours, donc c'est toujours mieux de l'avoir déjà vu quelque part ! Tu peux tomber dessus aux oraux également.

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:35

Je viens de passer de longues minutes à essayer de montrer que nu_{n+1}^2 tend vers 3 dans la question 2 (c), alors qu'il s'agit d'une application du théorème de Cesaro (du résultat de la question 1 quoi).

À bon entendeur

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:41

je viens de finir la 2a) ! je dois preparer mes colles de maths et de physique pour demain, je me remettrais dans ce sujet surement demain soir ! merci beaucoup pour l'aide apportée , les demonstrations d'existence de limites deviennent beaucoup plus claire ! bonne soirée klux et a bientot !

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:43

merci pour l'indice je vais essayer de me debrouiller j'en prend note !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 08-12-13 à 20:47

N'hésite pas, surtout maintenant que je me suis plongé dans cette annale !

Bon courage pour la préparation de tes colles

Merci et très bonne soirée également.

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 09-12-13 à 21:00

bonsoir ! je me suis repenché sur le sujet et j'en suis a la question 2-c)
et je pensais commencer comme sa :
on suppose (un) monotone et non majorée donc A>0,N,n>N , abs(un)>A
1er cas =on pose (un) croissante
(un) est croissante,donc pour tout entier n>N on a un>uN donc à partir du rang N tous les termes de la suite sont superieur a A  et cela contredit le fait que un tend vers l .
Ainsi si on suppose que la suite n'est pas majorée par l donc on conclue un  est majorée par l
est ce cela ?

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 09-12-13 à 21:01

et faire quelque chose de semblable dans le cas ou un serait decroissante !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 09-12-13 à 21:39

Dans ta traduction de la non-majoration, c'est u_n > A (sans la valeur absolue ) Et on suppose que la suite n'est pas majorée par l. Elle peut l'être par autre chose. Donc ne prends pas A quelconque, mais A = l.

Par contre, (u_n) converge vers l ne fait pas partie des hypothèses. On s'intéresse à la réciproque ici.

Voilà ce que j'ai en tête, mais je peux me tromper donc à lire attentivement.

Supposons que (u_n) soit croissante.

Raisonnons par l'absurde en supposant que (u_n) ne soit pas majorée par l.

Il existe un rang n_0 \in \mathbb{N} à partir duquel u_n > l.

Dès lors, a_n = \dfrac{u_1+...+u_n}{n} > \dfrac{nl}{n} > l.

Or \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n}{n+1}\dfrac{u_1+...+u_{n+1}}{u_1+...+u_n} \sim \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 (car (u_n) est croissante), donc il existe n_1 \in \mathbb{N} à partir duquel \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1 c'est-à-dire (a_n) croissante.

D'où la contradiction avec a_n > l vu que (a_n) converge vers l.

Conclusion : (u_n) est majorée par l.

De plus, (u_n) étant croissante et majorée, elle converge.

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 09-12-13 à 22:11

cela semble bien plus cohérent en effet c'est vrai que je n'ai pas utilisé l'expression de (an) d'ou le manque de consistance ... (je suis mal pour le prochain DS...) ! je vais y reflechir et je demanderai demain au prof , merci beaucoup pour ton aide et pour ton temps klux

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 09-12-13 à 22:19

L'exercice 1 est assez technique avec de nombreuses démonstrations avec des epsilons.

Regarde l'exercice 2 qui est une application de l'exercice 1 (donc fini les démonstrations avec des epsilons !) et l'exercice 4 qui est une application de l'exercice 3 (qui est lui-même une généralisation de l'exercice 1, donc retour des epsilons mais la démonstration est vraiment très très similaire à celle de l'exercice 1).

Oui, montre la démonstration à ton professeur, comme ça tu me confirmeras cela (ou pas...). Le passage peut-être limite est celui avec l'équivalent, mais pourquoi cela ne serait pas juste ?!

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 09-12-13 à 22:33

Il y a une chose à modifier obligatoirement !! a_n peut être égal à 0 vu qu'on n'a aucune hypothèse sur le signe de u_n.

Du coup, on oublie le rapport \dfrac{a_{n+1}}{a_n}, mais on peut le remplacer par : a_{n+1} \sim \dfrac{u_{n+1}}{n} \ge \dfrac{u_n}{n} \sim a_n, d'où a_{n+1} \ge a_n à partir d'un certain rang.

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 17:56

bonsoir , je lui en ai parlé rapidement (car il etait pressé) et il m'a repondu que on ne pouvais pas mettre an+1(un+1)/un car ce n'etait pas assez precis, il m'a dit qu il faudrait l'exprimer autrement ...  

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 18:45

Merci pour ton retour.

Je viens de penser à une autre méthode.

Supposons (u_n) croissante.

Raisonnons par l'absurde en supposant que (u_n) n'est pas majorée par l.

(u_n) est croissante, donc soit (u_n) converge, soit (u_n) diverge vers +\infty d'après le théorème de la limite monotone.

(*) Si (u_n) converge, disons vers L \in \mathbb{R}, alors L > l car (u_n) est croissante et non majorée par l.

On a alors a_n=\dfrac{u_1+...+u_n}{n} qui converge vers L également, ce qui est absurde vu que (a_n) converge vers l < L.

(*) Si (u_n) diverge vers +\infty, alors (a_n) diverge également vers +\infty (démonstration analogue à celle de la question 1 en utilisant la définition de la limite). D'où l'absurdité.

Dans les deux cas, on aboutit à une absurdité, d'où (u_n) majorée par L.

De même si (u_n) est décroissante : soit elle converge, soit elle diverge vers -\infty d'après le théorème de la limite monotone.

Conclusion : si (u_n) est monotone, alors (a_n) et (u_n) ont le même comportement.

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 18:53

Si tu veux démontrer que (u_n) diverge vers +\infty entraîne (a_n) tend vers +\infty (qui est vraiment analogue à ce qu'on a fait à la question 1), je t'invite à consulter ce document (j'ai la flemme de retaper le découpage avec les epsilons ^^) :

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 19:00

cela ressemble aux demonstration du cours , et oui il m'avait dit que je devais employer le theoreme de la limite monotone ! j'ai relue et je ne vois rien a ajouter a cette mega demonstration ! je ne sais pas comment te remercier , c'est vrai que j'ai quelques difficulté en maths et ton aide est précieuse ! le prof m'a donné quelques exo et m'a conseillé de me pencher sur un autre sujet car celui ci etait plutot theorique et donc plus dur pour moi ! fin bon je comprend déja un peu mieux les raisonnements par l'absurde et les demonstration d'existences merci beaucoup klux

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 19:01

La conclusion a donner concerne uniquement le cas (u_n) croissante : si (a_n) converge vers l et (u_n) croissante, alors (u_n) est également majorée par l donc converge d'après le théorème de la limite monotone. On montre ensuite facilement que la limite de (u_n) n'est autre que l.

De manière analogue, on pourrait montrer que : si (a_n) converge vers l et (u_n) décroissante, alors (u_n) est également minorée par l donc converge d'après le théorème de la limite monotone. On montre ensuite facilement que la limite de (u_n) n'est autre que l.

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 19:02

a le fameux theoreme de cesaro je file le lire tout de suite (on va pas tarder a l'etudier en cours normalement !) merci bien !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 19:04

De rien

Tu peux regarder la question 2 de la partie A qui n'est pas du tout théorique.

Cela fait réviser l'étude de suites (question a) avec les équivalents (question b). Et ça termine par une petite application du théorème de Césaro démontré à la question 1 pour l'utiliser au moins une fois sur un exemple concret (question c).

Posté par
supengalere
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 19:08

sa marche , je file finir mon dm de physique et je m'y remet a tout de suite !

Posté par
klux
re : corrigé banque pt 2003 10-12-13 à 19:10

C'est quand même mieux de finir avec une application concrète de ce résultat. Tu n'auras pas passé du temps à comprendre la démonstrationB pour rien comme ça.

Bon courage pour ton devoir maison et à tout à l'heure !



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !