Niveau autre

cosinus et sinus

Posté par dradra (invité) 10-10-07 à 19:33

bonjour pourriez vous m'aider
je dois faire un exercice j'ai calculer la dérivée de la fonction f définie pour x ]-1,1[ par
f(x)=arcsin x - arctan x/rac(1-x^2) que j'ai su faire
puis j'ai du déduire de la question la valeur de f(x) pour tout x ]-1,1[ et ça aussi j'ai su faire
j'ai trouver que c'était égal à 0 mais je n'arrive pas à retrouver cette réponse en calculant
sin(arcsin x- arctan x/rac(1-x^2)???
Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : cosinus et sinus 11-10-07 à 15:53

Bonjour,

$3$A = \sin\left(\arcsin x-\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$
Or $3$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$ , donc :
$3$A = \left(\sin\,\arcsin x\right)\left(\cos\,\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)-\left(\sin\,\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\left(\cos\,\arcsin x\right)$
$3$A = x\left(\cos\,\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)-\left(\sin\,\arctan\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\sqrt{1-x^2}$
Or $3$\cos\,\arctan a=\frac{1}{1+a^2}$ et $3$\sin\,\arctan a=\frac{a}{1+a^2}$ , donc :
$3$A = x\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}-\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\sqrt{1-x^2}$
$3$A = x\frac{1-x^2}{1+x^2}-\frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2}\sqrt{1-x^2}$
$3$A=0$

Sauf erreur.

Nicolas