Bonjour

Quelque chose cloche. Si je prends et , il me semble que est l'axe et donc est la fonction nulle!

Bonjour !

Citation :
donc est la fonction nulle!

Oh oui, ça ne m'était pas venu à l'esprit!

Bonjour l'idée (à mon avis)  tu supposes qu'il n'existe de polynôme P_2 qui majore  f.
Si (x,y) est l'ensemble des points de G  alors pour x assez grand.....y ....
Ceci impose l'existence d'un polynôme P_1 qui  minore f. Et c'est une contradiction à cause de la symétrie du pb par rapport à l'axe Ox.

Je vous donne ma réflexion. Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie.
Sur un segment, l'image de ce segment par f est borné (à justifier, je n'ai pas encore là continuité de f) j'aurais donc bien deux droites ou comme demandé paraboles réalisant l'inégalité demandé. En faisant la réunion d'intervalle, je trouverais donc avec le max min des polynômes une solution. Il reste donc le problème aux infinis. Ce qui m'embête également c'est que la question de la continuité vient par la suite.

À jb2017, je ne vois pas de conclusion à la non existence de P2 à part f(x)>x  sur un ouvert non vide

Correction : à part f(x)>P2(x)

Petites réflexions personnelles (je ne sais même pas si ça peut servir) :

Le point vérifie qu'il existe et (non uniques) tels que :





est le centre d'un cercle qui rencontre A et B et tel que le disque ouvert ayant pour frontière ne rencontre ni A ni B.

Autre réflexion :
A et B ayant des rôles symétriques, est-il suffisant de montrer l'existence de P de degré 2 tel que ?

Avant toute chose il faudrait  au moins montrer l'existence de " la courbe médiatrice de A et B "  .

C'est supposé fait :

bon, ok, c'est marqué "une", pas "la"

je suis vraiment bouché:
Je sais bien que les deux fonctions  qui, à un point de R^2, associent ses distances respectives à A et B sont continues sur le plan , mais je ne vois pas pourquoi , quand on parcourt une parallèle à Oy, elles prennent une fois et une seule la même valeur.
Ce qui est sans doute indispensable pour prouver l'existence de la fonction f?

@rogerd: l'existence a été prouvé. En gros le problème que tu exposes vient de l'unicité sur une parallèle à (Oy) . L'idée est de prendre un point du graphe. Puis a et b deux points de A et B réalisant l'inf de la distance.  On montre que pour un point m de la parallèle "plus bas" alors  d(m,a)>d(m,b) et la différence idem dans l'autre sens pour un point plus haut. D'où l'unicité.

Merci à Jarod128 pour ses indications mais je ne vois toujours pas l'existence de f, c'est-à-dire l'existence d'un point(au moins) de la médiatrice de A et B sur toute parallèle à Oy.

Par contre, j'ai une idée sur la question des deux polynômes.

Prenons un point F dans A et un point M dans P+.
Soit R la parabole de foyer F et directrice Ox. C'est l'ensemble des points du plan équidistants de F et de Ox.
Si M est "au-dessus" de cette parabole, sa distance à F est strictement inférieure à sa distance à Ox. Sa distance à A est inférieure à sa distance à F et sa distance à B est supérieure à sa distance à Ox (car la distance de M à Ox minimise la distance de M à un point du demi-plan inférieur.)
Le point M ne peut être équidistant de A et B. La médiatrice de A et B est donc en entier "en-dessous" de la parabole.
Les points du demi-plan P- sont eux aussi, bien sûr, en dessous de la parabole.
L'équation y=P2(x) de la parabole fournit le polynôme P2 demandé.
On trouve P1 de façon analogue.

Je n'utilise pas la fonction f pour ma démonstration et je pense même que cette démonstration permet de retrouver f.

@rogerd merci beaucoup, très bonne idée foyer directrice.
Pour l'existence sur une parallèle à (Oy) il suffit de prendre pour un x fixé le point (x,t) et la fonction qui à t associé dA((x,t))-dB((x,t)). Cette fonction est continue et change de signe d'où avec le TVI...

Bonjour
C'est très bien la démo de @rogerd.
Si on désigne par f la fonction (continue et définie sur R) qui a pour graphe G  (la médiatrice de A et B) alors lorsque x tend vers    cette démonstration montre que le comportement de f  est donné par   |f(x)|=O(x^2).  
Je pose la question suivante: Est ce que cette estimation est optimale?
En effet je pose cette question, car je conjecture (et c'est à vérifier) que si  A et B sont compacts (i.e  sont fermés et bornés) alors f(x) admet une droite asymptote oblique ou horizontale.

Bonjour,  jb2017.

L'estimation est optimale. Il suffit de prendre A réduit à un point et B une droite parallèle à l'axe  (Ox). La médiatrice de A et B est la parabole de foyer A et de directrice D.

Effectivement. Remarque: c'est un exemple avec B non bornée

Pour info, il y a bien une asymptote lorsque A et B compacts. La médiatrice du plus petit segment d'extrémités dans A et B porté par l'unique droite "posée" simultanément sur A et B.

Oui je m'en doutais un peu. Quand on y réfléchit un peu il y a pas mal de questions autour de ce sujet.

Bonjour à tous,

Ce sujet constitue l'essentiel de l'épreuve d'analyse de l'agrégation interne pour cette année 2018.

Nombre de ces questions ne sont pas particulièrement faciles et il est bien difficile de les traiter sans aucun guide.
Le mieux est de chercher à faire ce problème, ce qui guidera quelque peu l'amateur ...

Je me suis efforcé de faire le corrigé et je pourrai sans doute donner quelque indications sur certaines questions si le besoin s'en fait sentir.

Inversement, j'avoue caler dans la toute dernière question (le coup de l'asymptote) et j'apprécierais une aide pour cette foutue asymptote qui me résiste ...