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Courbes paramétrées

Posté par
matheux14
25-11-21 à 19:18

Bonsoir,

Merci d'avance.

On donne la courbe paramétrée suivante  :  \begin{cases} x(t) = 2 \cos(t) - \cos(2t) \\ y(t) = 2 \sin(t) - \sin(2t) 
 \\  \end{cases}

Déterminer la longueur de sa courbe, son repère
de Frénet en chaque point, et son centre de courbure.

* Calcul de la longueur de la courbe.

On a l'arc paramétrée ; ici la courbe paramétrée \gamma = (\R ; \vec{F})

\vec{F} étant défini sur \R.

L(\gamma) = \int^{+\infty}_{-\infty}||\vec{F}'(t)|| dt

Alors \forall t \in \R ~;~\vec{F}(t) =\left( 2 \cos(t) - \cos(2t) ; 2 \sin(t) - \sin(2t)\right)

\vec{F}'(t) =\left( -2 \sin(t) + 2\sin(2t) ; 2 \cos(t) - 2\cos(2t)\right)

||\vec{F}'(t)|| = \sqrt{ (-2 \sin(t) + 2\sin(2t))²+(2 \cos(t) - 2\cos(2t))²}=2\sqrt{\sin²(t) (2\cos t-1)²+(\cos(t)-\cos(2t))²}

L(\gamma) = \int^{+\infty}_{-\infty}||\vec{F}'(t)|| dt= \int^{+\infty}_{-\infty}2\sqrt{\sin²(t) (2\cos t-1)²+(\cos(t)-\cos(2t))²} dt

Alors là çà coince pour les calculs..

Posté par
carpediem
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 19:32

salut

il semble évident qu'il faille simplifier ce radicande ...

en particulier en se rappelant que \cos^2 x + \sin^2 x = ...  ?

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 19:34

Bonsoir,
la courbe est périodique.
Quand on parle de sa longueur on parle de la longueur sur une période.

Sinon la longueur de la courbe \begin{cases} x(t) =\cos(t) \\ y(t) = \sin(t) \end{cases} qui est le cercle trigonométrique serait infinie.

Posté par
Razes
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 19:45

Bonsoir,

Pour éviter de promener les intevrales et racines, valait mieux déterminer ta norme au carré, la simplifier avant de la mettre sous intégrale. (Ça évite aussi des erreurs)

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 21:16

Citation :
Bonsoir,
la courbe est périodique.
Quand on parle de sa longueur on parle de la longueur sur une période.


Comment trouver cette période ?

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 21:49

Les fonctions sin et cos sont 2 périodiques.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 21:56

Je voulais dire comment est-ce que cette période impact sur les bornes de l'intégrale ou l'ensemble de définition de \vec{F} ?

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 22:11

Je reprends  l'exemple de la courbe \begin{cases} x(t) =\cos(t) \\ y(t) = \sin(t) \end{cases}

Elle est évidement 2\pi périodique.

On a de plus \lVert F'(t)\rVert=1 de façon évidente.

La longueur de la courbe est \int_a^{a+2\pi}1\text{d}t=2\pi, ce qui est assez normal pour un cercle de rayon 1.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 23:15

D'accord donc L(\gamma) =\int_a^{a+2\pi}2\sqrt{\sin²(t) (2\cos t-1)²+(\cos(t)-\cos(2t))²} \text{d}t

Pour la simplification de 2\sqrt{\sin²(t) (2\cos t-1)²+(\cos(t)-\cos(2t))²} çà devient plus long..

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 25-11-21 à 23:31

Essaye d'utiliser l'indication de carpediem pour simplifier

\bigl(-\sin(t) +\sin(2t) \bigr)^2+\bigl(\cos(t) -\cos(2t)\bigr)^2

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 00:35

J'ai ajouté 0 = 1-1 = cos²x + sin²x -(cos²x + sin²x )

Mais çà devient très long..

Posté par
carpediem
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 19:28

mais que fais-tu ?

développe l'expression rappelée par verdurin et utilise mon indication ...

qu'obtient-on ?

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 19:45

J'allais faire une réponse du même genre que celle de carpediem, que je salue.

Je rajoute deux indications :

\cos(a-b)=\sin a \sin b +\cos a \cos b et 2\sin^2x=1-\cos(2x)

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 21:59

L(\gamma) =\int_a^{a+2\pi}[2\bigl(-\sin(t) +\sin(2t) \bigr)^2+\bigl(\cos(t) -\cos(2t)\bigr)^2] \text{d}t =\int_a^{a+2\pi} 2\sqrt{2(1-\cos x)} \text{d}t

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 22:17

Une erreur de calcul (2a+2b)^2=4(a+b)^2\neq 2(a+b)^2

Et une mauvaise méthode.
Commence par simplifier

\bigl(-\sin(t) +\sin(2t) \bigr)^2+\bigl(\cos(t) -\cos(2t)\bigr)^2

avant de mettre des racines carrées et des intégrales.

Puis utilise 2\sin^2x=1-\cos(2x) en posant t=2x.

Posté par
Pirho
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 22:23

Bonsoir à tous,

je pense qu'il y a une méthode  plus rapide

je me permettrai de l'exposer quand matheux14 aura suivi la piste de verdurin (22:17)

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 22:36

Au fait je voulais écrire L(\gamma) =\int_a^{a+2\pi}2\sqrt{\sin²(t) (2\cos t-1)²+(\cos(t)-\cos(2t))²} \text{d}t =\int_a^{a+2\pi}2\sqrt{2(1-\cos (t))} \text{d}t  

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 23:09

D'accord, c'est plus juste comme ça.
Mais tu fais une erreur de méthode en ne divisant pas tes calculs en morceaux facilement manipulables.

En fait ce que tu as fait comme calcul c'est

\bigl(-2\sin(t) +2\sin(2t) \bigr)^2+\bigl(2\cos(t) -2\cos(2t)\bigr)^2=8(1-\cos t)

Ce qui est juste, mais qui se passe très bien de la racine carrée et de l'intégrale.

Avant de s'occuper de l'intégrale on regarde la racine carrée.
Ce serait bien de transformer 1-\cos t en carré.
Et je t'ai donné une formule qui permet de le faire.

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 26-11-21 à 23:13

Sur ce je vais dormir.
Bonne nuit.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 03:03

1-\cos t =1-\cos \left( 2 *\dfrac{t}{2} \right) = 1- \cos² \left(\dfrac{t}{2} \right)+\sin² \left(\dfrac{t}{2} \right)=2\sin² \left(\dfrac{t}{2} \right) car 1= \cos² \left(\dfrac{t}{2} \right)+sin² \left(\dfrac{t}{2} \right)

L(\gamma) =\int_a^{a+2\pi}2\sqrt{\sin²(t) (2\cos t-1)²+(\cos(t)-\cos(2t))²} \text{d}t =\int_a^{a+2\pi}2\sqrt{2(1-\cos (t))} \text{d}t  =\int_a^{a+2\pi} 4\sqrt{\sin²\left(\dfrac{t}{2}\right)}

Posté par
Pirho
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 08:25

en partant de

\left[2\, sin(2\,t)-2\, sin(t)\right]^2+\left[2\,cos(t)-2\,cos(2\,t)\right]^2

et en utilisant  les formules sin(a)-sin(b) , cos(a)-cos(b), sin^2(a)+cos^2(a)=1

il vient

4\left[2\,sin(\dfrac{t}{2})\,cos(\dfrac{3\,t}{2})\right]^2+4\left[2\,sin(\dfrac{3t}{2})\,sin(\dfrac{t}{2})\right]^2=16\, sin^2(\dfrac{t}{2})\left[ cos^2(\dfrac{3\,t}{2})+\,sin^2(\dfrac{3t}{2})\right]=16\,sin^2(\dfrac{t}{2})

sauf erreur

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 08:35

OK

Reste à déterminer le repère de Fresnel en chaque point et le centre de courbure..

Posté par
GBZM
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 09:09

Bonjour,

Frenet, pas Fresnel !

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 10:53

L(\gamma) = -4\cos\left(\dfrac{t}2{}\right) ou L(\gamma) = 4\cos\left(\dfrac{t}2{}\right)

* Repère de Frenet :

Soit M= O + \vec{F}(t) un point régulier de la courbe paramétrée plane (t ; \vec{F}).

Le vecteur tangente au point M est \vec{T}=\dfrac{\vec{F}'}{||\vec{F}'||}=\dfrac{\left( 2 \cos(t) - \cos(2t) ~;~ 2 \sin(t) - \sin(2t)\right)}{16 \sin^2(\dfrac{t}{2})}

Le vecteur unitaire directement perpendiculaire à \vec{T}(t), c'est à dire le vecteur \vec{N} tel que (\vec{T}(t) ; \vec{N}(t)) soit une base orthonormée directe plan est \vec{N}=\dfrac{\vec{F}''}{||\vec{F}''||}=\dfrac{\left( -2 \sin(t) +2\sin(2t) ~;~ 2 \cos(t) - 2\cos(2t)\right)}{8\sin (t)}

* Le centre de courbure.

Alors j'ai pas compris la formule du centre de coubure..

J'ai \vec{M(s) C(s)}=R(s) \vec{N}(s) avec s l'abscisse curviligne.

Posté par
carpediem
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 11:08

comment peux-tu encore avoir la variable dans la longueur de la courbe ?

une longueur peut-elle être négative ?

si la fonction es 2pi-périodique pourquoi se trainer un a inutile ?

ne pas oublier les dt dans les intégrales ...

L = 4\int_0^{2\pi} \sqrt { \sin^2 \dfrac t 2} dt = ...

et encore une fois il serait bien de simplifier cette racine carrée avant de calculer l'intégrale !!!

on te l'a dit déjà wouatmille fois : décomposer le travail en étapes et traiter correctement et jusqu'au bout chaque étape !!

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 11:41

L = 4

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 13:39

 \vec{M(s) C(s)}=R(s) \vec{N}(s) ; je ne comprends pas pourquoi  \vec{M(s) C(s)} représente le centre de courbure.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 16:22

\text{I} = M +\rho\vec{N} avec \rho le rayon de courbure.

\vec{N}=\dfrac{\left( -2 \sin(t) +2\sin(2t) ~;~ 2 \cos(t) - 2\cos(2t)\right)}{8\sin (t)}

\rho = \dfrac{(x'²+y'²)^{3/2}}{x'y''-y'x''}=\dfrac{\left[ (-2 \sin(t) + 2\sin(2t))²+(2 \cos(t) - 2\cos(2t))²\right]^{3/2}}{[2 \cos(t) - \cos(2t)][2 \cos(t) - 2\cos(2t)]-[2 \sin(t) - \sin(2t)][-2 \sin(t) +2\sin(2t) ]}

M= O + \vec{F}(t)=O +\left( 2 \cos(t) - \cos(2t) ; 2 \sin(t) - \sin(2t)\right)

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 27-11-21 à 17:52

Il y a vraiment des choses que je ne comprend pas dans tes calculs.

Pour le repère de Frenet on a dèja calculé \lVert F'(t)\rVert=4\lvert\sin\frac{t}2\rvert.

C'est le moment idéal pour utiliser la remarque de Pirho.

\begin{pmatrix}2\sin(2\,t)-2\sin(t)\\
 \\ 2\cos(t)-2\cos(2\,t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\sin\frac{t}2\,\cos\frac{3t}2\\
 \\ 4\sin\frac{t}2\,\sin\frac{3t}2\end{pmatrix}

On peut aussi remarquer qu'en prenant t entre 0 et 2 on a  \sin\frac{t}2\geqslant0 et donc \lvert\sin\frac{t}2\rvert=\sin\frac{t}2.

Ensuite le second vecteur du repère \vec N est l'image de \vec T par une rotation d'un quart de tour dans le sens direct.

Pour le calcul de la courbure on a calculé x'^2+y'^2=16\sin^2\frac{t}2.

Et tu t'es trompé dans le calcul de x'' et de y''.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 04:40

\text{I} = M +\rho\vec{N} avec \rho le rayon de courbure.

\vec{N}=\dfrac{\left( -2 \cos(t) +4\cos(2t) ~;~ -2 \sin(t) - 4\sin(2t)\right)}{4(1+8\sin²\left(\dfrac{t}{2}\right)}

\rho = \dfrac{(x'²+y'²)^{3/2}}{x'y''-y'x''}=\dfrac{\left[ (2 \sin(2t) - 2\sin(t))²+(2 \cos(t) - 2\cos(2t))²\right]^{3/2}}{(2 \sin(2t) - \sin(t))(4 \sin(2t) - 2\sin(t))-(2 \cos(t) - 2\cos(2t))(4 \cos(2t) -2\cos(t))}

M= O + \vec{F}(t)=O +\left( 2 \cos(t) - \cos(2t) ; 2 \sin(t) - \sin(2t)\right)

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 09:47

\color{red}\large\text{Il est important de simplifier les calculs}
Quand on a vu que, pour t\in[0;2\pi[,

(2 \sin(2t) - 2\sin(t))^2+(2 \cos(t) - 2\cos(2t))^2=4\sin\frac t2
il est bon de le réutiliser chaque fois que l'on rencontre la première expression.

Autre remarque.
Le second vecteur du repère de Frenet n'est pas le vecteur accélération, sauf si on a paramétré la courbe par son abscisse curviligne.

En utilisant tes notations ( vecteurs en ligne ) on a

\vec V=\dfrac1{4\sin\frac t2}\Bigl(-2\sin t+2\sin(2t)\ ;\ 2\cos t-2\cos(2t)\Bigr)

On remarque immédiatement, il aurait été bon de le faire avant, que le point M(0) n'est pas régulier. Il n'y a pas de repère de Frenet en ce point.
On remarque aussi qu'il est possible de simplifier par 2 et on le fait.

\vec V=\dfrac1{2\sin\frac t2}\Bigl(-\sin t+\sin(2t)\ ;\ \cos t-\cos(2t)\Bigr).

Pour avoir le vecteur \vec N on fait une rotation de \pi/2.
On trouve alors

\vec N=\dfrac1{2\sin\frac t2}\Bigl(-\cos t+\cos(2t)\ ;\ -\sin t+\sin(2t)\Bigr).

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 14:59

Citation :
On remarque immédiatement, il aurait été bon de le faire avant, que le point M(0) n'est pas régulier. Il n'y a pas de repère de Frenet en ce point.


J'ai pas compris

Posté par
carpediem
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 16:20

F'(0) = ... ?

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 18:09

F'(0) = (1 ; 0)

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 19:05

Dans ton premier message :

matheux14

\vec{F}'(t) =\left( -2 \sin(t) + 2\sin(2t) ; 2 \cos(t) - 2\cos(2t)\right)

En remplaçant t par 0 on trouve
\vec{F}'(0) =\left( -2 \sin(0) + 2\sin(0) ; 2 \cos(0) - 2\cos(0)\right)=(0 ; 0)
sans même connaître les valeurs de \sin(0) et \cos(0).

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 20:16

D'accord ; c'est bon pour le centre de courbure ?

Posté par
Pirho
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 20:27

faute d'inattention sûrement, mais

cos(0)=1 , sin(0)=0

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 21:00

@matheux14,
je ne vois pas où tu as donné les coordonnées du centre de courbure.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 21:03

matheux14 @ 28-11-2021 à 04:40

\text{I} = M +\rho\vec{N} avec \rho le rayon de courbure.

\vec{N}=\dfrac{\left( -2 \cos(t) +4\cos(2t) ~;~ -2 \sin(t) - 4\sin(2t)\right)}{4(1+8\sin²\left(\dfrac{t}{2}\right)}

\rho = \dfrac{(x'²+y'²)^{3/2}}{x'y''-y'x''}=\dfrac{\left[ (2 \sin(2t) - 2\sin(t))²+(2 \cos(t) - 2\cos(2t))²\right]^{3/2}}{(2 \sin(2t) - \sin(t))(4 \sin(2t) - 2\sin(t))-(2 \cos(t) - 2\cos(2t))(4 \cos(2t) -2\cos(t))}

M= O + \vec{F}(t)=O +\left( 2 \cos(t) - \cos(2t) ; 2 \sin(t) - \sin(2t)\right)

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 21:19

Je t'ai dèja dit que l'expression de \vec N que tu donnes est fausse.
Je t'ai donné une expression exacte de \vec N et je t'en ai suggéré une autre, plus simple.

Si tu donnes une réponse à un exercice qui consiste à dire au correcteur « vous n'avez qu'a faire les calculs », je doute qu'elle soit bien notée.

Je me demande sincèrement si tu n'es pas en train de te moquer de moi.

J'arrête ici mes interventions sur ce fil.

Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 21:26

Mais non

Les calculs sont tellement long que je n'arrive pas à les poster..

Je demandais juste si j'étais sur la bonne voie pour déterminer le centre de courbure.

Désolé si je n'ai pas pris la peine de corriger l'expression de N.

Posté par
verdurin
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 21:38
Posté par
matheux14
re : Courbes paramétrées 28-11-21 à 21:42

Merci



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