Bonjour,
pourquoi ne pas parler de dualité en topologie ou en algèbre linéaire?
Le dual d'un ensemble, tel que Lp par exemple.
La dualité ouvert/fermé.
etc

Merci pour ta réponse,
Mais je suis pas sûr que ça soit bon
Les dualités c'est les 2 interprétations possibles d'un même phénomènes par exemple mécanique classique / mecanique quantique
Enfin je vais me renseigner vu que je ne sais pas ce qu'est Lp

Dualité c'est dualité, c'est large.
Il se trouve que tu as une notion qui s'appelle justement la dualité en maths.
En général il ne faut pas toujours prendre les sujets de TIPE au premier degré. Il arrive même souvent que le lien entre le sujet et le travail soit très approximatif...

Pour ce qui est de Lp tu as plusieurs manières de le définir, la plus simple étant celle ci:
Tu prends les fonctions p intégrables, tu les mets dans un ensemble lp.
Tu y considères la semi-norme |.|p définie par l'intégrale p ième de la valeur absolue de ta fonction f.
Tu considères la relation R suivante:
x R y ssi ||x-y||p=0
Si fais le quotient lp/R tu obtiens Lp qui est un espace normé muni d'une norme naturelle.
Notamment, tu as un espace de Banach pour p quelconque et c'est un Hilbert si p=2.

Si tu pouvais me donner un lien sur ce thème ça serait sympa car je trouve pas.

Sinon j'ai des amis qui ont fait un TIPE cette année sur la géométrie euclidienne et non euclidienne. Pensez-vous que ça rentre dans le thème?

Merci

Si tu veux des documents qui parlent de ce que je dis, ca se trouve dans tout bon cours de mesure, de topologie et d'analyse fonctionnelle.
Tu peux retrouver des éléments sur ce lien:
http://www.dptmaths.ens-cachan.fr/a9
Tu dois pouvoir le retrouver dans le Rudin: Real an complexe analysis, ou encore de le Brézis: Analyse fonctionnelle.
Tu retrouve également certains élément dans le Bartle.
Cependant c'est évident de ne pas acheter ces ouvrages uniquement pour travailler dessus (sauf si ton prof est près à te le payer, ca m'est arrivé de me faire payer un bouquin par ma prépa en sup, pour faire mon TIPE sur la RMN et l'IRM)

Pour ce qui est de la géométrie euclidienne et non euclidienne, c'est une bonne chose, cependant ca demande pas mal de travail, mais c'est le but du TIPE. Notamment ca demande du travail en algèbre linéaire et en topologie (en général on se limite à des espaces à base dénombrable d'ouverts). Justement tu auras à utiliser ces notions de duale dont je te parlais.

Bonnes recherches.
A+

Tu peux également faire la dualité analyse réelle/analyse complexe, mais je ne sais pas si tu iras très loin dans les comparaisons.
Celà étant c'est très puissant l'analyse complexe, et surtout ca pourrait vraiment t'aider si tu passes des concours, car ca t'aide à beaucoup mieux cerner l'analyse numérique, même réelle...

il y a aussi de quoi parler sur la dualité de poincaré et la cohomologie

Oui, mais si tu bosses sur la géométrie différentielle comme tu semblais éventuellement faire, tu auras justement des problèmes de cohomologie qui devraient rentrer en jeu (pour çà il faut quand même aller très loin dans la théorie, je doute qu'un TIPE aborde ceci).
Quant à la dualité de Poincaré, je ne sais pas ce que c'est.

moi non plus j'entendais juste un supposé(par moi) prof de mp parler de cela avec un supposé (par moi) collègue ce matin au lycée

La dualité de Poincaré, c'est l'isomorphisme entre le r-ième espace de cohomologie de de Rham d'une variété de dimension n et le n-r ième espace de cohomologie à support compact de la dite variété. Si la variété est compacte, cohomologie de de Rham et cohomologie à support compact coïncide. Ça pourrait faire un super sujet de TIPE, mais à mon avis c'est vraiment nettement trop dur [ou alors à réserver aux ENS, et en prenant du courage] : j'imagine mal un élève de taupe parler de fibré des formes alternées et de ce genre de choses... C'est d'autant plus dommage que les espaces de cohomologie sont des invariants très puissants - par exemple on peut démontrer en trois lignes le théorème de Brouwer avec. Et les liens avec la physique sont alors faciles à faire : par exemple, dire qu'on ne peut pas passer d'un objet à un autre continuement parce que les cohomologies de de Rham sont différentes, avec des objets bien choisis.

Salut,
en fait je ne suis pas expert en homologie et cohomologie je t'avouerai.
Notamment, pourquoi ne pas parler de fibré des formes alternées?
Ca me semblerait intéressant, et si on veut traiter de la géométrie différentielle, il faut mettre les mains dedans
Ca pourrait être intéressant ce théorème de Brouwer, ça peut également être un but, comme le théorème de Gauss-Bonnet, ou de Morse, qui peuvent servir de "conclusion" de TIPE. Surtout si on arrive à les appliquer de manière ludique (théorème de la boule chevelue).

En ce qui concerne les espaces Lp, ça rentre en effet tout à fait dans le cadre, en plus c'est pas trop trop difficile (enfin nettement moins que les histoires de cohomologie). Par contre il faut passer par l'intégrale de Lebesgue, on n'y échappe pas, mais de toute façon il faut bien faire ça un jour, alors le plus tôt est le mieux. Et puis ça simplifie terriblement la vie une fois qu'on l'a fait [oui parce que "l'intégrale de Riemann des f. continues par morceaux", qui est le cadre officiel du programme de prépa, c'est vraiment n'importe quoi : l'espace sur lequel on travaille n'est même pas complet, et je n'ai jamais vu d'analyse sérieuse en dehors des espaces complets].

L'idée est alors que le dual[topologique] de Lp est précisément Lq, avec 1/p + 1/q = 1. Ce qui permet de faire beaucoup de choses, en particulier dans le cas où p=q=2.

Dans un autre domaine, on peut tenter d'étudier les groupes duaux de groupes classiques, ça plaira aux algébristes, en plus il y a de quoi faire. Il y a derrière toute la théorie des caractères.

Plus généralement, à mon avis, tout exposé qui présentera une correspondance entre objets rentrera parfaitement dans le cadre. Je pense en particulier aux correspondances entre objets géométriques et objets algébriques [ce qui nous ramène à la [co]homologie...

Oui, j'ai remarqué qu'en prépa on développe toute la théorie de Riemann pour n'intégrer que des fonctions CM, c'est stupide, l'intégrale de Riemann est plus puissante que celà.
De même, si on ne se pose pas certaines questions sur la théorie de Riemann, alors introduire celle de Lebesgue perd de sa saveur, c'est dommage.
Comme tu le dis, il faudra y passer, en école d'ingé je pense que ca doit se faire quoiqu'il arrive si on fait de la physique un minimum sérieusement.

euh, otto, j'imagine que tu ne sais pas précisément ce qu'est l'espace de cohomologie de de Rham d'une variété, alors je vais te donner une idée de la complexité du truc :
- l'espace de cohomologie de de Rham d'une variété M est le quotient des formes différentielles fermées sur M par les formes exactes.
- une forme différentielle, c'est une section du fibré des formes alternées sur M, qui constitue un fibré vectoriel et une variété lorsqu'il est muni d'un atlas canonique bien choisi.
- une section, ...
- une fibration vectorielle, ...
- une variété différentielle, c'est la donnée d'une variété topologique [séparée à base dénombrable] et d'un atlas de cartes maximal.
- une variété topologique, ...

Bon, j'arrête là, mais en gros si tu est en prépa il faut s'avaler 200 pages de définitions à peu près imbitables au premier abord pour arriver finalement à la cohomologie de de Rham [qui est le premier exemple d'espace de cohomologie qui apparaît, il y en a plein d'autres...] Du coup c'est un peu ardu, même pour quelqu'un de très fort et très patient. C'est pour ça que je déconseille.

Salut,
non je ne suis pas en prépa, je suis en Master, j'ai eu un cours sur de la géométrie différentielle et sur les formes différentielles. Cependant j'ai fait mon cours en anglais, et donc ce que tu appelles fibré, je pense que c'est ce que j'appelle espace tangent (TpM(E*)?).
J'ai trouvé dans la littérature française (analyse différentielle par Marc Chaperon édité chez Dunod si je ne dis pas de bétise) le terme de fibré tangent, et je pense que c'est ce que j'appelle espace tangent (je suis retombé ce matin sur de la littérature Canadienne qui persiste dans le terme d'espace tangent).
Pour ce qui est de la cohomologie et de l'homologie, je n'ai que très peu de notions dessus, j'avais juste lu un petit traité dessus, et je sais que justement en analyse différentielle ca entrait en jeu, (visiblement pour des raccordements de certaines formes sur l'intersection des ouverts de nos cartes) mais on est pas entré dans les détails.
Je suis un néophite de la cohomologie, et j'ai essayé de lire un mémoire de DEA sur les cohomologies de Weil, mais j'ai arreté après une page de lecture...

Je ne sais même pas si j'aurai un jour affaire à un espace de cohomologie
A+

"- l'espace de cohomologie de de Rham d'une variété M est le quotient des formes différentielles fermées sur M par les formes exactes."

Si ce n'est "que" ca, alors j'arrive à visualiser ce que c'est.
Qu'est ce qu'on en fait ensuite? Conserve t'elle une structure intéressante? (possède t'elle une structure différentielle?)

J'imagine que la cohomologie de De Rham n'est intéressante que dans le cas où M n'est que multiplement connexe.
J'en reviens à ma question: Qu'est ce que ca nous donne comme théorie?
Je vais faire des recherches sur le net.
A+

euh, le sujet dévie un peu des TIPE, mais bon...
Le fait est que les espaces de cohomologie de de Rham sont de dimension finie, et s'écrivent comme sommes directes des quotients des formes p-alternées fermées par les formes p-alternées exactes. Du coup, se donner l'espace de c. de de Rham d'une variété, c'est juste se donner les dimensions de chacuns des p-espaces. Maintenant, tout est fonctoriel, et en particulier, si deux variétés sont difféomorphes, ou même seulement homotopes, elles ont les mêmes espaces de cohomologies. Du coup, les espaces de cohomologie constituent des invariants numériques de classes d'objets homotopes. Pour les surfaces compactes connexes de dimension 2, c'est même le seul invariant - enfin je crois - i.e. les dimensions des espaces de cohomologie suffisent à caractériser les surfaces (on retrouve la notion de genre d'une variété de dimension 2).

Je n'ai jamais entendu le terme de multiplement connexe, mais j'imagine que tu entends par là l'inverse de simplement connexe. La cohomologie de de Rham est intéressante également dans ce cas : on est simplement connexe si et seulement si l'espace de c. de de Rham est nul. Vu qu'on a des moyens puissants de calcul d'espaces de cohomologie (suites exactes de Mayer-Vietoris, dualité de Poincaré), on peut donc démontrer que certaines variétés sont simplement connexes de cette façon. Bon, d'accord, c'est rarement le moyen le plus simple...

Si tu cherches un cours complet sur la question (histoire de s'occuper pendant les vacances) tu peux essayer http://www.dma.ens.fr/edition/NotesCours/index.html

concernant le vocabulaire des fibrés :
- espace tangeant et fibré tangeant, c'est pareil.
- par contre un fibré vectoriel - ou même une fibration - est un truc beaucoup plus général.

Salut,
merci pour ces renseignements et ce lien, je vais probablement y passer du temps bientôt.
Désolé de la déviation, on va essayer de reprendre le fil normal.
Merci,
cordialement
Otto

ps: multiplement connexe est bien l'inverse de simplement connexe, ca semble s'utiliser dans la litterature anglaise, j'ai du comettre un abus de traduction.

oula j'ai rien compris mais bon j'imagine que c'est normal je vous remercie pour vos réponses et je vais faire quelques recherches.

dans le genre de sujet
- compliqué mais tout à fait compréhensible sans lire des bouquins entiers
- rentrant parfaitement dans le thème "dualité"
je viens de penser à la dualité de Schur-Weyl qui exprime certaines algèbres d'endomorphismes comme les commutants d'autres. Par contre je sais pas trop où trouver des références sur le sujet. Enfin j'imagine qu'un bon bouquin d'algèbre fera l'affaire.