croissance d'une suite : exercice de mathématiques de Reprise d'études

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croissance d'une suite
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lebesgue  19-11-22 à 19:04
Bonjour,

Je m'intéresse à la suite définie par  et .
Ses termes sont : 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3.........
Donc elle semble croissante. J'ai voulu voir si je pouvais le prouver et j'ai donc tenter d'étudier le signe de dont l'expression est : .
J'ai tenté de montrer que cela est positif par récurrence (cela revient à montrer par récurrence que ) mais, si l'initialisation se passe bien, je n'arrive pas à prouver l'hérédité (c'est à dire prouver que  à partir de l''hypothèse de récurrence ). Pourriez vous me débloquer un peu SVP?

Merci par avance!

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *
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Imodre : croissance d'une suite  19-11-22 à 19:17
Tu peux regarder la suite  .

Imod
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carpediemre : croissance d'une suite  19-11-22 à 19:43
salut

vu la soustraction ta majoration devient une minoration et ne permet pas de conclure ...
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lebesguere : croissance d'une suite  19-11-22 à 19:44
Bonjour et merci pour ton aide,

 donc  est une suite croissante et positive.

Par ailleurs, par croissance,  me donne que  mais comment montrer que  ? me manque une étape...

Merci encore...
 Posté par 
lebesguere : croissance d'une suite  19-11-22 à 19:45
Bonjour,

oui, carpediem,  c'est ce que j'ai constaté à mes dépends.

Peut être que la récurrence n'est pas la bonne manière...
 Posté par 
carpediemre : croissance d'une suite  19-11-22 à 20:03
vu les premiers termes il faut prendre pour hypothèse de récurrence

et là ça marche ... enfin il me semble ... 
 Posté par 
alb12re : croissance d'une suite  19-11-22 à 20:23
salut, 

pourquoi ne pas montrer que u(2k)=u(2k+1)=... ? 
 Posté par 
carpediemre : croissance d'une suite  19-11-22 à 20:34
alb12 : c'était pour poursuivre dans l'idée de lebesgue ...

mais il faut une condition beaucoup plus restrictive si on veut faire une récurrence 

ensuite on peut donner aisément une formule générique donnant u_n en fonction de n sans distinguer aucun cas ...

 Posté par 
lebesguere : croissance d'une suite  19-11-22 à 21:06
Merci carpediem,

Grâce à ta condition, j'y suis arrivé....
 Posté par 
carpediemre : croissance d'une suite  19-11-22 à 22:32
de rien

tu peux maintenant vérifier que 

 Posté par 
alb12re : croissance d'une suite  19-11-22 à 23:07
pour u(n) on peut trouver une formule plus courte qui donne immediatement la monotonie. 
 Posté par 
carpediemre : croissance d'une suite  20-11-22 à 09:01
montre-nous car je suis curieux ...

en réduisant on obtient 

car j'aimerai bien voir plus court (et sans utiliser la fonction partie entière bien sûr !! qui donne immédiatement   )

 Posté par 
alb12re : croissance d'une suite  20-11-22 à 09:06
pourquoi s'interdire la partie entiere ? 
  Posté par 
carpediemre : croissance d'une suite  20-11-22 à 09:34
c'est une boite noire (comme la fonction cos) dont on peut se passer en n'utilisant que les quatre opérations de bases accessibles et compréhensibles par tout le monde

pourquoi se l'autoriser alors qu'on peut s'en passer ?

c'est un jeu autrement plus excitant et stimulant