Bonsoir,
Bienvenue sur l'île  

Dans le cône : (je vais employer des majuscules pour la clarté)
rayon : R
aire de la base :   A = R²
hauteur :  H
volume :  V = 1/3R²H
moitié du volume :  1/6R²H

Dans le cylindre : (je vais employer des minuscules)
rayon :  r = 1/2R
aire de la base :  a = 1/4*A     <-- (1/2)²A
hauteur :  h = 1/2*H
volume :   v = 1/4R² * 1/2H      <-- v = r²h       v = *(1/2R)²*1/2H
           v = 1/8R²H

Le volume du cylindre est plus petit que la moitié du volume du cône


Je n'ai pas l'habitude de donner les solutions, plutôt d'aider à les trouver.
Mais j'ai fait exception parce que tu as joué de malchance : en général les réponses arrivent assez vite....!  

un schéma t'aidera peut-être à visualiser

Bonjour Nony.
En examinant une coupe de l'ensemble par un plan vertical passant par le sommet du cône :
on a un triangle ABC (coupe du cône), de base [BC] et un rectangle EFGH (coupe du cylindre), de sorte que E est sur [AB], F sur [AC] et [GH] dans [CB].
Soit [AI] la hauteur du triangle ABC.
D'après le théorème de Thalès : HE/IA = BE/BA = CF/CA = 1/2; donc E est le milieu de [BA], F est le milieu de [CA] et [EF] est une droite des milieux du triangle ABC : EF = BC/2.
Le diamètre de la base du cylindre est la moitié du diamètre de la base du cône.
Le cylindre qui aurait la même base et la même hauteur que le cône aurait une base d'une aire quatre fois plus grande que l'aire de la base du cylindre inscrit et une hauteur deux fois plus grande que la hauteur de celui-ci. Son volume serait 4*2 = 8 fois plus grand.
Le volume du cône est 3 fois plus petit que celui de ce nouveau cylindre. Il est donc 8/3 plus grand que le volume du cylindre inscrit.

Bonjour plumemeteore,
J'ai du mal à suivre ton raisonnement, pourquoi ne pas exprimer directement le volume du cône et diviser par 2 puisque la question est : "Le volume du cylindre est-il plus ou moins grand que la moitié du volume du cône?"

On sait déjà que h = 1/2*H (énoncé) et s'il faut démontrer que r = 1/2*R le théorème des milieux serait plus simple (il n'y a pas de figure, pas de lettres), mais demande-t-on de justifier la proportionnalité ? Il me semblait qu'il suffisait qu'elle soit utilisée correctement (longueurs, aires, volumes)

Merci de votre aide, enfin plutôt des réponses. Ce n'est pas grave si il y a eu du temps avant de me répondre, mon professeur m'a donné jusqu'à la fin de la semaine ^^
Encore merci.