Niveau terminale

D’après sujet de bac [Intégration]

Posté par
Bouboux 21-06-19 à 00:27

Bonjour,

Je suis bloqué à un exercice et j'aimerais que l'on m'aide s'il vous plait.

Pour tout naturel non nul n, on pose:
$I_n = \int_{0}^{pi/4}{\tan^n(x) } dx.$

1.a. Justifier l'existence de $I_n$ .
b. Sans calculer $I_n$ , montrer que la suite ( $I_n$ .) (n entier naturel) est une suite décroissante dont tous les termes sont positifs.
2. a. Pour tout entier naturel n, calculer la dérivée de la fonction x $\rightarrow$ $\tan ^{n+1}(x).$
En déduire que, pour tout n entier naturel non nul, $I_n$ + $I_{n+2}$ = 1/(n+1)

Je ne sais pas comment faire la dernière partie.

1.a. $\tan ^{n}(x) = \frac{\sin^{n}(x) }{\cos^{n}(x) }$
Continue sur l'ensemble des réels sauf pi/2 + k*pi avec k entier naturel.
[0; pi/4] est inclus dans cet ensemble.

b. x appartient à [0; pi/4] $\Rightarrow$
0 $\leq$ $\tan(x)$ $\leq$ 1
La suite ( $\tan ^{n}(x)$ ) est décroissante $\Rightarrow$ ( $I_n$ ) est décroissante.

2.a. On pose u(x) = $x^{n+1}$ et v(x) = $\tan (x)$
$u'(x) = (n+1)*x^n$ et $v'(x) = \frac{1}{\cos ^2(x)}$

$\tan ^{n+1}(x)$ = u(v(x))
(u(v(x)))' = v'(x) * u'(v(x)) = $\frac{1}{\cos ^2(x)}$ * (n+1)* $\tan ^n (x)$
Peut-être qu'il faut trouver ça dans l'intégrale pour ensuite utiliser la primitive $\tan ^{n+1}(x)$ mais je ne vois pas du tout comment faire.

J'ai vu ce moyen https://www.ilemaths.net/sujet-primitive-de-tan-10-n-276361.html#msg2374066 mais le problème est que dans l'énoncé il est indiqué "en déduire" et avec cette solution je ne vois pas où est le rapport avec la question précédente.

Merci de votre aide !

Posté par re : D’après sujet de bac [Intégration] 21-06-19 à 01:44

Bonsoir,

2)a)

Citation :
(u(v(x)))' = v'(x) * u'(v(x)) = $\frac{1}{\cos ^2(x)}$ * (n+1)* $\tan ^n (x)$

Oui mais en l'occurrence, il vaut mieux remplacer $\dfrac{1}{\cos^2x}$ par $1+\tan^2x$

Posté par re : D’après sujet de bac [Intégration] 24-06-19 à 21:04

Très bien, merci beaucoup !

Je suis aussi bloqué dans la suite de l'exercice, au 3.c, pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

2.b. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} \frac{1}{2(1+n)} \leq I_n \leq \frac{1}{(1+n)}$

2.c. En déduire la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ lorsque n tend vers $+\infty$

2.d. Calculer $I_{n+4} - I_n$ en fonction de n, où ${n \in \mathbb{N^*}}$

3.a. Calculer $I_2$ .

3.b. Calculer f (2)+ f (6)+ f (10)+··· + f (4k −2) en fonction de $I_2$ et de $I_{4k+2}$ , où $n \in \mathbb{N^*}$ .

3.c En déduire la limite de la somme:
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k+1}$ lorsque k tend vers   $+\infty$ .

2.b.
$\forall n \in \mathbb{N} \frac{1}{2(1+n)} \leq I_n \leq \frac{1}{(1+n)} \\ 0\leq I_{n+2} \\ I_n \leq I_n + I_{n+2} = \frac{1}{(1+n)} \\ I_{n+2} \leq I_n \\ I_{n+2} + I_n \leq 2I_n \\ \frac{1}{2(1+n)}$

2.c. Théorème des gendarmes

2.d.
$I_{n+4} - I_n =  (I_n + I_{n+2}) * I_2  -  (I_n + I_{n+2}) = \frac{I_2 - 1}{1+n}$

3.a.
$\  I_0 + I_{0+2} = 1 \\ I_2 = I_0 - 1 = \frac{ \pi }{4}  = \frac{3\pi }{4}$

3.b.
$f(2) = I_6 - I_2$
$f(6) = I_{10} - I_6$
$f(10) = I_{14} - I_{10}$
...
$f(4k-2) = I_{4k-2} - I_{4k+2}$
$f (2)+ f (6)+ f (10)$ + ··· $+ f (4k - 2)  = I_{4k+2} - I_2$

3.c. Et là, je ne vois pas du tout comment faire.

Merci de votre aide !

Posté par re : D’après sujet de bac [Intégration] 24-06-19 à 21:08

Correction:

3.a.
$\ I_0 + I_{0+2} = 1 \\ I_2 = 1 - I_0 = 1 - \frac{ \pi }{4} = \frac{3\pi }{4}$

Posté par re : D’après sujet de bac [Intégration] 25-06-19 à 10:18

2)d) Je pense qu'il eut mieux valu écrire:

   $I_{n+4}+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+3}$

   $I_{n+2}+I_n=\dfrac{1}{n+1}$

Puis soustraire membre à membre pour obtenir:

   $I_{n+4}-I_n=\dfrac{1}{n+3}-\dfrac{1}{n+1}$

Citation :
3.a.
$\ I_0 + I_{0+2} = 1 \\ I_2 = I_0 - 1 = \frac{ \pi }{4} = \frac{3\pi }{4}$

Non:

$I_2=1-I_0=1-\dfrac{\pi}{4}$

3)b)c) Petit problème:

Citation :
3.b. Calculer f (2)+ f (6)+ f (10)+··· + f (4k −2) en fonction de $I_2$ et de $I_{4k+2}$ , où $n \in \mathbb{N^*}$ .

On ne sait pas ce qu'est $f$ !

En lisant entre les lignes, je suppose que: $f(n)=I_{n+4}-I_n$

Est-ce le cas?

Posté par re : D’après sujet de bac [Intégration] 25-06-19 à 10:37

En admettant que ce le soit:

3)b) .....

Citation :
$f(4k-2) = I_{4k-2} - I_{4k+2}$
$f (2)+ f (6)+ f (10)$ + ··· $+ f (4k - 2) = I_{4k+2} - I_2$

Une erreur:

     $f(4k-2)=I_{4k+2}-I_{4k-2}$

Et on a bien:

   $f(2)+f(6)+f(10)+ \cdots +f(4k-2)=I_{4k+2}-I_2$

Pour la suite 3)c):

A 10h18:

Citation :
$I_{n+4}-I_n=\dfrac{1}{n+3}-\dfrac{1}{n+1}$

et tu peux réécrire $f(2)+f(6)+f(10)+ \cdots +f(4k-2)$ d'une autre manière encore avec une somme télescopique.

Posté par re : D’après sujet de bac [Intégration] 25-06-19 à 11:01

Un dernier mot pour 3)a) soit le calcul de $I_2$ :

Citation :
3.a.
$I_0 + I_{0+2} = 1$

En y regardant de plus près, on ne peut pas écrire ça car:

Citation :
Pour tout naturel non nul n, on pose:
$I_n = \int_{0}^{pi/4}{\tan^n(x) } dx.$

Effectivement, il y a un problème à la borne $0$ lorsque $n=0$

Il faut donc calculer directement $I_2$ :

$\displaystyle I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^2x\,\text{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan^2x-1)\,\text{d}x=\left[\tan\,x-x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}==1-\dfrac{\pi}{4}$

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