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Dans un marais....avec matrices SUITES

Posté par
mathstud 13-11-12 à 18:48

Bonjour
Ceci est un problème connu mais je bloque avec les matrices……………depuis plus de cinq heures
Dans une zone de marais on s'intéresse a la population des libellules. On note Po la population  initiale et Pn la population au bout de n années .Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation :
(R) pour tout entier naturel n on a :

Pn+2= (3/2)Pn+1 -(1/2)Pn)

On suppose que Po=40 000 et que P1= 60 000

1) Calculer P2 et P3
Je trouve 60.000 et 75.000
2)On considère ensuite la matrice en colonne Vn = (Pn  )
…………………............................…………………………………….(Pn+1)

a) Monter que Vn+1= A x Vn où A est une matrice carrée d‘ordre 2
Aucun problème et [b]je trouve A= (0         1)
……………………………….......................….(-½      3/2)[/b]
b) Soient P (1 2) et D (1 0)
......…………  (1 1)      (0 ½)
Déterminer l'inverse de P  à la calculatrice et vérifier à la main que A=PDP puissance -1
Aucun pb Je trouve  l inverse de P (-1     1)
……………………………………........................(1     -½)
Et l'équation est vérifiée

c) En admettant que les puissances de D se déterminent en calculant les puissances des éléments de la diagonale principale déterminer A puissance n en fonction de n
J'ai trouvé An = (1 2)  (1n  0)  (-1     1)
………………….…..............……….(1 1)  (0 ½n) (1   -½) mais ?????

d) On admet que le résultat de la question a (Vn+1= A x Vn)  permet d'affirmer que Vn= An x Vo déterminer Pn en fonction de n ……………………NOIR TOTAL

3 Montrer que la suite converge et déterminer sa limite
Si je connais la réponse précédente je pense ne pas avoir de problème ici

Merci de m'indiquer la solution et non des traces de recherches car je suis en train de me noyer
Merci encore

Posté par
mathstudre : Dans un marais....avec matrices SUITES 13-11-12 à 19:25

Posté par
mathstudre : Dans un marais....avec matrices SUITES 13-11-12 à 21:00

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 13-11-12 à 23:15

bonsoir,
pour P^{-1}j'ai
-1  2
1 -1
tu vérifies ton expression de P^{-1}
c) il faut calculer le produit des trois matrices pour obtenir  An

d)quand tu as An tu fais le produit AnV0cela te donne la matrice Vn
Pn
Pn+1

il suffit de lire Pn

Posté par
mathstudre : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 03:58

Bonjour
Merci ....mais pour les trois premières questions je les ai déjà faites sans buter
Y a-t-il quelqu'un qui puisse faire la question c car je ne comprends pas la réponse fournie
" faire le calcul des trois matrices" lesquelles puisque A=PDP-1
Alors An= PnDnP-n ou alors s'agit il de
An= PDnP-1 ,
si c'est cette dernière oui pourquoi les puissances de n disparaissent-elle ?
Mais encore une fois, je vois (à peu près ce qu'il faut faire)

En revanche j'ai besoin de la résolution de la d ( pas de piste svp car je suis a deux doigts d'abandonner tellement je tourne en rond)

On me dit  " quand tu as An tu fais le produit AnVo cela te donne la matrice Vn et tu lis Pn"
D'accord pour le produit mais comment puis-je lire Pn sachant que Vn est la matrice (Pn,Pn+1)

Merci et désole de mon insistance

Posté par
mathstudre : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 07:41

Posté par
PurpleRainre : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 19:49

Bonjour,
Moi aussi je travaille actuellement sur le même exercice.
Pour la question c. j'en suis arrivé au résultat: A^n = (0       1^n)
                                                        (-0,5^n 1,5^n)

J'ai ensuite calculé A^n x Vo ce qui m'a donné la matrice suivante: Vn= (60000^n)
                                                                        (70000^n).
Donc Pn= 60000^n.
Ma question est: d'abord est ce que ce résultat est le bon, car il me semble peu cohérent, et ensuite la limite est elle donc + l'infini? Je bloque à la question 3.

En vous remerciant d'avance, j'attends vos conseils!
Merci encore

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 20:49

>>mathstud
pour avoir A^ntu calcules le produitPD^nP^{-1}

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 20:55

>>Purple Rain
je ne trouve pas comme toi pour A^n

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 21:06

re>>mathstud
quelles puissances n disparaissent?
A^n= (PDP^{-1})^n=(PDP^{-1}.PDP^{-1}.PDP^{-1}.......PDP^{-1})= \\ PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D(PP^{-1})D....(..)DP^{-1}
or(PP^{-1})=I I matrice élément neutre pour la multiplication des matrices doncA^n=PD^nP^{-1}

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 14-11-12 à 21:17

>>PurpleRain
je te donne mon résultat pour  P.D^n
\\ 1   2\frac{1}{2^n} \\ 1    \frac{1}{2^n}
pour avoirA^n il faut encore multiplier à droite par P^{-1}

Posté par
PurpleRainre : Dans un marais....avec matrices SUITES 15-11-12 à 00:20

>> Veleda je trouve pour P x D^n la matrice : 1^n  1^n
                                                                                       2x(1/2)^n  1/2^n
Comment as tu enlevé les ^n de la première ligne?

Posté par
PurpleRainre : Dans un marais....avec matrices SUITES 15-11-12 à 00:56

>> Veleda j'ai répondu a ma propre question car 1^x vaut toujours 1 ^^
j'en suis arrivé a une matrice A^n = 0  -0,5^n
                                                                     3(1/2^n) -0,5^n
Vn vaudrait donc -20000^n ? Comment peut-on interpréter ce résultat?
Merci beaucoup pour ton aide !

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 15-11-12 à 14:57

>>PurpleRain
ta matrice   PD^n est inexacte  il faut échanger la première ligne et la première colonne  

                              
                              Dn   x     0
                                     0     y'

                       a    b        X     Y
                   P   a'   b'       X'    Y'      PDn

X=ax+0b=ax
X'=a'x+0b'=a'x
Y=0a+by'=by'
Y'=0a'+b'y'=b'y'

Posté par
chacha041096Matrices 04-11-13 à 19:42

bonsoir , j'ai le même devoir maison et j'ai un problème, comment trouvez-vous A dans la question 2a) ?
merci d'avance !!

Posté par
777YMatrices 29-10-14 à 11:22

Même problème pour ma part je suis bloqué à partir de la question c)

Posté par
777YMatrices 29-10-14 à 11:27

Je ne comprend pas quel est le calcul à faire pour trouver la réponse... Merci d'avance pour votre aide c'est un devoir maison à rendre pour Lundi

Posté par
777YMatrices 31-10-14 à 22:15

Est il possible de faire remonter le sujet ? Merci par avance

Posté par
veledare : Dans un marais....avec matrices SUITES 01-11-14 à 00:34

bonsoir,
c)A=PDP^{-1} \\ *A^n=(PDP^{1})(PDP^{-1})(...)(...   )(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D......(P^{-1}P)DP^{-1}
maisP^{-1}P=I=>A^n=PDIDIDI...DP^{-1}=PD^nP^{-1}     I est neutre pur la multiplication des matrices

*tu peux aussi faire une récurrence pour montrer que A^n=PD^nP^{-1}

tu as P ,P^{-1} le texte donne D et te dit que D^n est la matrice diagonale de termes diagonaux 1^n   et \frac{1}{2^n}  il reste à calculer PD^nP^{-1}

Posté par
777Yre : Dans un marais....avec matrices SUITES 01-11-14 à 19:45

Merci beaucoup !!


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