Bonjour
Ceci est un problème connu mais je bloque avec les matrices……………depuis plus de cinq heures
Dans une zone de marais on s'intéresse a la population des libellules. On note Po la population initiale et Pn la population au bout de n années .Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation :
(R) pour tout entier naturel n on a :
Pn+2= (3/2)Pn+1 -(1/2)Pn)
On suppose que Po=40 000 et que P1= 60 000
1) Calculer P2 et P3
Je trouve 60.000 et 75.000
2)On considère ensuite la matrice en colonne Vn = (Pn )
…………………............................…………………………………….(Pn+1)
a) Monter que Vn+1= A x Vn où A est une matrice carrée d‘ordre 2
Aucun problème et [b]je trouve A= (0 1)
……………………………….......................….(-½ 3/2)[/b]
b) Soient P (1 2) et D (1 0)
......………… (1 1) (0 ½)
Déterminer l'inverse de P à la calculatrice et vérifier à la main que A=PDP puissance -1
Aucun pb Je trouve l inverse de P (-1 1)
……………………………………........................(1 -½)
Et l'équation est vérifiée
c) En admettant que les puissances de D se déterminent en calculant les puissances des éléments de la diagonale principale déterminer A puissance n en fonction de n
J'ai trouvé An = (1 2) (1n 0) (-1 1)
………………….…..............……….(1 1) (0 ½n) (1 -½) mais ?????
d) On admet que le résultat de la question a (Vn+1= A x Vn) permet d'affirmer que Vn= An x Vo déterminer Pn en fonction de n ……………………NOIR TOTAL
3 Montrer que la suite converge et déterminer sa limite
Si je connais la réponse précédente je pense ne pas avoir de problème ici
Merci de m'indiquer la solution et non des traces de recherches car je suis en train de me noyer
Merci encore
bonsoir,
pour j'ai
-1 2
1 -1
tu vérifies ton expression de
c) il faut calculer le produit des trois matrices pour obtenir An
d)quand tu as An tu fais le produit AnV0cela te donne la matrice Vn
Pn
Pn+1
il suffit de lire Pn
Bonjour
Merci ....mais pour les trois premières questions je les ai déjà faites sans buter
Y a-t-il quelqu'un qui puisse faire la question c car je ne comprends pas la réponse fournie
" faire le calcul des trois matrices" lesquelles puisque A=PDP-1
Alors An= PnDnP-n ou alors s'agit il de
An= PDnP-1 ,
si c'est cette dernière oui pourquoi les puissances de n disparaissent-elle ?
Mais encore une fois, je vois (à peu près ce qu'il faut faire)
En revanche j'ai besoin de la résolution de la d ( pas de piste svp car je suis a deux doigts d'abandonner tellement je tourne en rond)
On me dit " quand tu as An tu fais le produit AnVo cela te donne la matrice Vn et tu lis Pn"
D'accord pour le produit mais comment puis-je lire Pn sachant que Vn est la matrice (Pn,Pn+1)
Merci et désole de mon insistance
Bonjour,
Moi aussi je travaille actuellement sur le même exercice.
Pour la question c. j'en suis arrivé au résultat: A^n = (0 1^n)
(-0,5^n 1,5^n)
J'ai ensuite calculé A^n x Vo ce qui m'a donné la matrice suivante: Vn= (60000^n)
(70000^n).
Donc Pn= 60000^n.
Ma question est: d'abord est ce que ce résultat est le bon, car il me semble peu cohérent, et ensuite la limite est elle donc + l'infini? Je bloque à la question 3.
En vous remerciant d'avance, j'attends vos conseils!
Merci encore
re>>mathstud
quelles puissances n disparaissent?
or I matrice élément neutre pour la multiplication des matrices donc
>> Veleda je trouve pour P x D^n la matrice : 1^n 1^n
2x(1/2)^n 1/2^n
Comment as tu enlevé les ^n de la première ligne?
>> Veleda j'ai répondu a ma propre question car 1^x vaut toujours 1 ^^
j'en suis arrivé a une matrice A^n = 0 -0,5^n
3(1/2^n) -0,5^n
Vn vaudrait donc -20000^n ? Comment peut-on interpréter ce résultat?
Merci beaucoup pour ton aide !
>>PurpleRain
ta matrice PD^n est inexacte il faut échanger la première ligne et la première colonne
Dn x 0
0 y'
a b X Y
P a' b' X' Y' PDn
X=ax+0b=ax
X'=a'x+0b'=a'x
Y=0a+by'=by'
Y'=0a'+b'y'=b'y'
bonsoir , j'ai le même devoir maison et j'ai un problème, comment trouvez-vous A dans la question 2a) ?
merci d'avance !!
Je ne comprend pas quel est le calcul à faire pour trouver la réponse... Merci d'avance pour votre aide c'est un devoir maison à rendre pour Lundi
bonsoir,
c)
mais I est neutre pur la multiplication des matrices
*tu peux aussi faire une récurrence pour montrer que
tu asle texte donne D et te dit que est la matrice diagonale de termes diagonaux il reste à calculer
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