Bonjour

Citons tout dabord le théoréme de Gauss :

Soient a, b, c trois entiers naturels. Si a est premier avec b et si a divise le produit bc, alors a divise c[/i]

Il découle de cela que :
si p premier divise a² alors p divise a
En effet, p étant premier, p et a ne peuvent avoir que p comme diviseur commun. Si p ne divisait pas a, alors p et a seraient premiers entre eux et, d'après le théorème de Gauss, p divisant le produit p diviserait le second facteur a!

Partons a présent de l'hypothése :
est rationnel non entier

Alors il existe un couple (a;b) d'entier, premier entre eux tels que :

Comme n'est pas entier , et par définition de ,

Maintenant il y a deux démarches pour arriver a ce qu'on veut . Une avec a et une avec b

Je vais faire les deux

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Démarche avec b :
soit p un diviseur premier de b .
comme , p divise a².
Alors , d'aprés la lemme , p divise a
Or , a et b sont supposés premier entre eux et par conséquent ne peuvent admettre p comme diviseur
=> Absurde

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Démarche avec a :
Comme a et b sont premiers entre eux, a² et b² le sont également, sinon, d'après le lemme, un diviseur premier commun à a² et b² serait un diviseur commun à a et b.
Comme , d'aprés le théoréme de Gauss , divise n ce qui implique que
=> Absurde
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Dans tout les cas on obtient donc une absurdité .

On en déduit par l'absurde que la négation de " non entier et rationnel" est vraie , c'est a dire que :
" entier ou irrationnel" est vraie


Jord

Merci beaucoup pour ta réponse, mais Jord, peux-tu m'expliquer plus en détail la démarche avec a.

Merci!

Re

Quel point en particulier ne comprends-tu pas dans cette démarche ?


Jord

Bonjour!

Je ne comprend pas pourquoi a² divise n ce qui implique que b=1

Re

On a :
et divise n .
or , et sont premier entre eux donc on a forcémment


Jord

Tu as écrit a^b et b² sont premier entre eux donc on a b=1
Je suppose que c'est a² et b² qui sont premier entre eux.
Et je ne comprend toujours pas pourquoi cela implique que b=1

Euh oui effectivement , c'est et qui sont premiers entre eux .

Bon tu as :
et n divise donc divise . or , et sont premiers entre eux donc on a forcémment

Compris ?

jord

Oui

Merci beaucoup pour ta patience!
Bonne fin de week end! et à+

Pas de probléme


Jord