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De l'arithmétique.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur 19-06-06 à 12:11

Bonjour;
a et b sont deux entiers naturels tels que \fbox{2\le a\le b}
On suppose que 2$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\a^n-1\hspace{5}divise\hspace{5}b^n-1}

Montrer que b est une puissance de a

Posté par
Gauss-TnDe l'arithmétique 19-06-06 à 14:34

Salut; je vous pouver me dire l'écriture mathématique de b est une puissance de a
  merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : De l'arithmétique 19-06-06 à 16:23

Bonjour Gauss-Tn;
\fbox{b\hspace{5}est\hspace{5}une\hspace{5}puissance\hspace{5}de\hspace{5}a}\Longleftrightarrow\fbox{\exists s\in\mathbb{N}^*\hspace{5}/\hspace{5}b=a^s}

Posté par neo (invité)re : De l'arithmétique. 20-06-06 à 16:54

je suis impatient de voir la correction

Posté par
Gauss-TnDe l'arithmétique 21-06-06 à 21:21

salut; fronchemnet je me bloque j'ai appliqué la définition de la divisiblité

et j'ai factorisé l'expretion de b^n-1 mais je n'est pas arrivé à

aucune résultat cé ça qui géne parfois dans l'ariyhmetique ou bien tu conait

l'idéé ou bien non

mais je va essaier encore

Posté par
stokastikre : De l'arithmétique. 22-06-06 à 11:08


L'arithmétique j'ai jamais compris comment on trouve les solutions, c'est toujours particulier non ?

Posté par
Gauss-Tnde l'arithmétique 22-06-06 à 14:50

salut stokastik , c'est à force de travaille tu aboutira unà un certain raisonnement pour l'arithmétique

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : De l'arithmétique. 22-06-06 à 15:11

Bonjour;
(*)Soit p un diviseur premier de b
Comme (par hypothése) \fbox{a^{p-1}-1\hspace{5}divise\hspace{5}b^{p-1}-1} on a l'existence d'un entier k tel que \fbox{b^{p-1}-1=k(a^{p-1}-1)} et on voit alors que \bar{a^{p-1}-1} est inversible dans \mathbb{Z}_{/p\mathbb{Z}} on en déduit que \bar{a^{p-1}}\neq\bar{1} donc \fbox{\bar{a^{p-1}}=\bar{0}} (petit Fermat) c'est à dire que \fbox{p\hspace{5}divise\hspace{5}a}.
On vient de montrer que tout diviseur premier de b divise a ainsi si \fbox{b=p_1^{\alpha_1}..p_k^{\alpha_k}} (décompostion en produit de facteurs premiers) on a que \fbox{p_1..p_k\hspace{5}divise\hspace{5}a} et il est alors clair que \blue\fbox{b\hspace{5}divise\hspace{5}a^s} dés que \fbox{s\ge\max_{1\le i\le k}\alpha_i}
On remarquera en particulier que \fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\b^n\hspace{5}et\hspace{5}a^n-1\hspace{5}sont\hspace{5}premiers\hspace{5}entre\hspace{5}eux}

(*)Dans la suite s est le plus petit entier vérifiant la propriété en bleu:

Comme 3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\\frac{a^{sn}-b^n}{a^n-1}=\frac{a^{sn}-1}{a^n-1}-\frac{b^n-1}{a^n-1}} on voit que \fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\b^n\hspace{5}et\hspace{5}a^n-1\hspace{5}divisent\hspace{5}a^{sn}-b^n} et donc \fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\b^n(a^n-1)\hspace{5}divise\hspace{5}a^{sn}-b^n}
en notant 2$\fbox{u=\frac{a^s}{b}\in\mathbb{N}^*} on a 3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\\frac{u^n-1}{a^n-1}=\frac{a^{sn}-b^n}{b^n(a^n-1)}} c'est à dire que 3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*\\a^n-1\hspace{5}divise\hspace{5}u^n-1} (à suivre)


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