Re ,

En fait il faut lire "somme algébrique" au lieu de somme !!!!

Cordialement.

Bonjour hgaruo1951.

Juste un peu d'observation pour commencer :

si a', b', c' et d' sont des entiers tels que leur somme vaut 5, alors a = 13.a'; b = 11.b'; c = 7.c' et d = 3.d' te fournira un panel de solutions évidentes.

Bonjour

j'ai beau relire, je ne vois nulle part le mot "somme" qu'il faudrait remplacer
et qu'est-ce donc qu'une somme qui ne serait pas algébrique

Re ,

vous avez parfaitement raison  lafol ; mon erreur est du au fait que dans ma première tentative de poster le message j'avais noté " soit la somme des fractions..."
et que cela n'a pas était poster et en reprenant ....;

Pour jsvdb , je regrette la solution est unique puisque l'on ne prendra que des
fraction irréductibles.

Cordialement.

Re,

Et pourtant en regardant la formulation que j'ais faite  oui c'est vrai .
Oui vous avez  parfaitement raison jsvdb et donc je souhaiterai
connaitre au moins une solution particulière!!!

Cordialement.

salut



je prends a = b = c = 1 ... et je calcule d ...

Re bonjour  jsvdb,

En fait vous avez partiellement raison car il doit exister certes "un panel de solutions "  mais
pas de la forme  a=13a' , b=11b',  .....   pour une raison évidente .

Cordialement.

Bonjour Carpediem ,

votre solution est correcte à la question que j'ai posée  que je doit reconnaître  quelle n'est
pas correctement posée: en effet je devais normalement préciser que les nombre a , b c et  d sont des entiers relatifs.
Cordialement .

NB: désormais je vous promets de prendre lorsque je poserais tel ou tel problème
sur ce site. Mille excuses pour mes premiers pas dans ce topic.

Salut à tous ,

Je revient tout en reformulant mon problème

déterminer une solution particulière de l'équation diophantienne linéaire

1001d+429c+273b+231a=5

équation obtenue après avoir effectuer une réduction au même dénominateur

de la somme  (a/13)+(b/11)+(c/11)+(d/3) .

Cordialement.

Erreur de frappe :

@hgaruo1951,

C'est ce que j'avais commencé mais il faut passer par les calculs modulo qui sont un peu long.



Par exemple commencer par modulo en premier ainsi nous aurons une équation modulo avec seulement et ainsi de suite.

Bonjour razes,

Pourquoi  que c'est long les calculs  ?  

Cordialement.

Par exemple pour :



Donc:

Bonjour Razes.
Ça tombe bien, je vois qu'on a eu la même idée. J'ai :

a = 13a' + 7
b = 11b' + 3
c = 7c' + 4
d = 3d' + 2

Et en réinjectant dans l'équation d'origine je trouve a' + b' + c' + d' = - 6422/3003

Ça fait un peu limite pour une somme d'entiers relatifs. Alors comme je suis super bon en calcul, qu'en penses-tu ?

Bonjour  jsvdb,

Effectivement, il y a un gros soucis.



Si on posait   et on résolvait par étapes ;

Bonjour,

ma méthode favorite : algorithme d'Euclide appliqué sur du calcul matriciel

cela donne
231a + 273b + 429c + 1001d = 5

a = 150 - 13k - 39m - 78n
b = -85 + 11k + 22m + 44n
c = -15 + 7m + 7n
d = -5 + 3n

(brut de calcul)
pour tous k, m, n dans

ou formules équivalentes par changements de variables sur k, m, n (combinaisons linéaires indépendantes de k, m, n)

en particulier si on pose k = k' + 8
a = 150 - 13(k' + 8) - 39m - 78n = 46 - 13k' - 39m - 78n
b = -85 + 11(k' + 8) + 22m + 44n = 3 + 11k' + 22m + 44n
c = -15 + 7m + 7n
d = -5 + 3n

et des solutions plus "simples" (mais c'est le même ensemble de solutions)

on peut chercher à améliorer encore avec des décalages de m et n comme pour k
(il est évident que au moins un des a,b,c,d est < 0, autant laisser comme ça)

les calculs matriciels détaillés sont bien entendu faits par un programme (beurk à la main, donnerait un post bien trop long)
on trouve facilement de la doc sur la résolution matricielle générale d'un système d'équations Diophantiennes ( = en nombres entiers) linéaires.
ici le système est composé d'une seule équation. C ne change rien à la méthode.

le cas "vu en cours" d'une seule équation à deux inconnues est une simplification
l'algorithme d'Euclide sur une "matrice" de deux nombres ne nécessitant pas véritablement du calcul matriciel !
mais l'interprétation comme tel permet de généraliser à un système quelconque.

Nous injectons ces valeurs dans l'équation trouvée, nous obtenons:



Donc: il suffit de choisir:

et: (infinité de solutions)


Alors:

Exemple:

ma méthode brute a l'inconvénient de ne pas exprimer l'ensemble des solutions de façon optimale

Salut tout le monde ,

Messieurs et si je vous dirai que la solution de mon problème peut être trouvée en moins de deux minutes et ce sur un tableau à trois lignes , est cela vous intéressera?

cordialement.

dis toujours...

ici (forum détente) on peut aussi "blanker" (cacher la réponse avec le bouton "flèche hachurée")
mais effectivement tu peux aussi "attendre un peu" pour motiver les intervenants à creuser par eux même
ou aussi mettre juste des indices cachés sous un blank

salut







or


donc il suffit de résoudre le système :

et on vérifie bien que

la solution du système est donc une solution de l'équation initiale ...


le point de vu vectoriel :

posons   et alors on cherche à résoudre l'équation vectorielle


le point de vu matriciel (traduction de ma méthode) :

posons avec

et considérons la matrice ....

Salut ,

je vais suivre le conseil de razes et par la suite je ferai ce que propose

dmathafou.

Cordialement.

NB;  

 Cliquez pour afficher

cecc est un essai

Bonjour jsvdb,

je reconnait que j'ai mal formuler mon idée que d'ailleurs je l'ai bien précisée au départ:
il faut donc remplacer LA par une .

Cordialement.

Bonjour

On peut aussi trouver....

 Cliquez pour afficher

a=72 b=157 c=55 et  d=-83

oui, il y en a "des" infinités (dépendant de trois paramètres arbitraires et indépndants, qu'on les appelle k, m, n ou a' b' c' )

Bonjour à tous ,

Comme il a été dit et rappeler par mathafou le problème que j'ai proposé possède une infinité de solutions, la question est parmi telle ou telle solution pour ce type de problèmes est ce qu'elle peut être déterminée très facilement (et ce quelque soit le problème)  et surtout en un temps moins de 5 mn même dans le cas de cinq ou six variables. Par exemple je vais (il est vrai que je suis peut être en retard!!)  présenter la méthode  pour résoudre très facilement ce type de problème. Mais avant cela je vais faire certaines remarques pour tout ce qui va suivre :

1) la méthode est une "synthitisation"  de l'algorithme d'Euclide étendu appliquer à deux variables et dont (en plus ) a l'avantage d'être  applicable à une équation diophantienne linéaire à plusieurs variables: je l'ai baptisée "SCHEMA D'OURAGH"

2) la recherche de l'inverse d'un nombre a modulu b  est très facile à faire au moyen de ce schéma ; de même ,  par exemple,  résoudre la résolution d'une équation de même type que celle qui a été résolue par razes (c'est à dire 10a=5[13]) elle se fait très facilement au moyen de ce schéma

3) Ce schéma permet de résoudre très facilement les problèmes relatifs au théorème des restes chinois ; par exemple la résolution des système suivants :
         a)  x=A_i [n_i]   ,   i variant de 1 à r ;
         b)   a_ix=b_i  [n_i]  ;  i variant de 1 à s ;
( pour le signe "="  il faut lire est  congru à );

3) Combinée avec la méthode d'O.R. , ce schéma permet de résoudre une équation diophantienne polynomiale de type  ( A(x) , B(x) , U(x) , V(x) et R(x) sont des polynômes et ou A , B et R sont donnés et U et V sont des inconnues) .

4) évidemment le problème qui est l'objet de ce topic et bien on peut aussi le ramener
au cas cité en 1).

Voila ce je tiens à dire avant que de me limiter au cas qui est posé dans ce topic.

Cordialement;

"synthitisation", "SCHEMA D'OURAGH

shakageniesse, sors de ce corps ...

Re ,

je reprends l'énoncé du problème (pour tout "forumeurs" qui n'aura pas lus les messages précédents: calculer a,b,c et d dans le cas de la décomposition de fraction 5/(13*11*7*3)   en fractions simples (a/13)+(b/11)+(c/7)+(d/3). La discussion a permit de reformuler cet énoncé comme suite : résolution de l'équation diophantienne 231a+273b+429c+1001d=5
ou plus exactement comment déterminer en un temps très court et facilement une solution particulière parmi une infinité ( plusieurs solutions particulière ont été présentées) ; je propose de répondre à cette dernière question en utilisant le "SCHEMA D'OURAGH" comme suite:

 Cliquez pour afficher

je  réorganise mon équation comme suite

1001d+429c+273b+231c=5

et donc il vient

1001......429......143....**....273......143......130......13....**...231.......13......10......3.......1
....0.............-2............0.......**......0............-1..........-1..........0.....**.....0..........-17......-1......-3............
-142........284.....-142...**.....71.......-142.......71......-71...**......4.........-71.......4......-3.......1

et on relève de ce tableaux  ([bleu] les valeurs marquées en rouge et multipliée par 5[/bleu])
{d,c,b,a}={ -710 , 1420,355,20}  qui représente une solution particulière de l'équation proposée.

Remarque : la réorganisation de l'équation comme je l'ai faite n'est pas obligatoire mais je la conseille . En effet si je garde la première forme le SCHEMA D'OURAGH se présentera comme suite :

231......273.......231.......42........21....**.....429.......21..............9.........3......**......1001.......3.........2.........1
...0...........0.............-1..........-5..........0......**........0.........-20.............-2........0.....**............0.......-333....-1...........
......-68470...82164...-68470..13694...-668..13694..-668....334...............-1.......334.....-1.........1

d'où (en multipliant les nombres en rouge par 5 ) on aura comme autre solution particulière

{a,b,c,d} = {410820, 342350 , -3340, -5}

J'affirme que chacun des tableau ne m'a pas pris (à la main) plus de trois minutes chacun (il est vrai que j'ai utilisé une simple calculatrice chinoise qui possède la très utile touche  "ab/c"

Re,

et vous n'avez pas noté " la méthode d'O.R" ; il faut tout noter!!!!

"Syntitisation"  : elle est mise entre " et donc  je sais que cela ne figure pas dans le dictionnaire . Ceci dit j'ai lu plus horrible que cela dans ce forum  et je dit que chacun devrait s'habituer à cela et j'aimerai bien que l'on me souffle le mot ou l'expression correcte à ce sujet pour exprimer telle ou telle opération qui permet de synthétiser quelque chose...
Cordialement;

Bon week end,
Ramanujan :"sors de ce corps"

Bonjour ,
  
en attendant que tel ou tel sors de tel ou tel corps l'un ou l'autre s'ils veulent bien nous proposez  la solution  du système

7x=21 mod 79   ,  9x= 3 mod 67   ,  6x= 11 mod 29     ,      2x =  5 mod 17

Si , si cet exercice se résout au moyen du SCHEMA D'OURAGH sur un tableau semblable à ceux des précédents et ce en moins de 5 minutes à la main et je suis persuadé qu'aucun ne peut le faire dans un format aussi réduit que celui que je cite et aussi en ci peut de temps.

Je suis l'un des "forumeurs "  de ce sit  qui vous dit : " sortez vos réponses , on les attend"

Cordialement.

Re

les réponses d'abord et par la suites toutes sorte d'ironie(s) ???????????

Cordielement

Re ,  

et surtout on évitera  les réponses de style : le programme "tic tac "  nous donne.......

Cordialement.  

Bonjour hgaruo1951

Bonjour ming ,

je pense que j'ai mal réagi à certains commentaires. Je vous présente à vous  et à tous les "forumeurs" du site mes mille excuses. Malgré le fait que je ne suis pas français, je me doit de parfaire mon français et je demande à tous de ne pas en tenir compte si telle expression ou telle syntaxe est male formulée et même écrite. Ceci dit je reviens à l'essentielle. J'affirme que le dernier problème : résolution du système d'équations

7x=21 mod 79   ,  9x= 3 mod 67   ,  6x= 11 mod 29     ,      2x =  5 mod 17
(lire le signe "=" par  " congru à ")  

est directement lié au problème de départ . Donc  si parmi  certains qui prendront connaissance de ce problème donneraient  leurs  versions de la solution , je  crois que les "forumeurs" auront certaines idées sur la résolution d'un tel système d'équations.
Si maintenant on m'interdit de citer mon schéma ( je dis bien mon schéma car j'invite chacun à chercher sur le net s'il ne trouvera une trace de ce que j'affirme à l'exception d'un certain tableau à cinq colonnes et qui ne peut être utilisé que pour la résolution des équations diophantiennes linéaires à deux variables et est non utilisables dans le cas de résolution des équations diophantiennes  à plusieurs variables . Si je me trompe je suis certain que l'on me démontrera cela !!) .
Merci de votre compréhension.

Cordialement.

N.B. : les méthodes que je demande sont celles qui se font à la  main en utilisant peut être une simple calculatrice de poche.

Re ,

je me dois ....

La référence à Ramanujan était loin d'être péjorative...

Bonjour ,

oh!   je sais ce que HARDY pensé de RAMANUJAN , mais la manière de...
et puis oublions cela.....

Cordialement .

NB:  [urlhttps://youtu.be/p5rCCCuiB80][/url]

Re , Cliquez ici

on se calme un peu avec le flood ...

Bonjour dpi

Tu es bien gentil avec Ouragh de le comparer à un génie .(Ramanujan)
Sa méthode n'est pas originale cf.; et

Voyons son système:
Résoudre:

7x=21 [79 ]  ,  9x= 3 [67]  ,  6x= 11 [29]     ,      2x =  5 [17]
On travaille dans /n
Avec l'algorithme d'Euclide étendu, on obtient les inverses des classes 7,9, 6, et 2 modulo 79, 67, 29, et 17 respectivement.:

Le système devient x = 3 [79], x = 22 [67], x = 26 [29] et x = 11 [17]
Ensuite le théorème des restes chinois () donne:

x = 1 784 054 [79x67x29x17] (sauf erreur...)
Il suffit d'un programme pour l'algorithme des restes avec en sous programme celui d'Euclide étendu.
Je pense que méthode "Ouragh " fait double emploi avec celle d'Euclide étendue et peut être utile pour une utilisation ponctuelle.

Bonjour ,

et encore quelqu'un qui a bien travaillé  (et cela est vraie!!) et nous simplifier le
problème en la résolution du système
      x = 3 [79],        x = 22 [67],       x = 26 [29]    et     x = 11 [17]

Mais en fait n'est ce pas l'énoncé du problème de départ (certes simplifié ) qui était
posé : avoir la solution sans recourir à tel ou tel programme ? .
Plus exactement que il a été demander de résoudre un tel système à la main . Je suis certain que la méthode utilisée dans  
est beaucoup plus difficile à appliquer que celle utilisée pour cet exercice ici    

oui chacun peut  le vérifier.

Mais inutile d'y insister il est vrai que chacun peut dire  à ses  élèves ce qu'ils faut faire dans ce cas ......

Cordialement.

Re,
et d'ailleurs tous devraient accepter que les simplifications citées c'est à dire le passage de
la forme     7x=21 [79 ]  ,  9x= 3 [67]  ,  6x= 11 [29]     ,      2x =  5 [17]
à la forme   x = 3 [79],        x = 22 [67],       x = 26 [29]    et     x = 11 [17]
est vraiment inutile et est "_couteux" .
pour  la détermination de "x"  elle peut se faire  seulement sur un simple tableau à trois lignes comme cela (je le rappel ici) comme cela se fait ici [https://youtu.be/p5rCCCuiB80][/url]

Ceci dit si l'on opte pour la voie proposée alors je conseille d'exécuter par exemple
6x= 11 [29]    comme suite

29.......6.......5......1
...........-4.......-1.......
.............5........-1......1

(même ici la recherche de l'inverse de 6 modulo 29 peut se faire mentalement, je le sais,
mais j'insiste sur la méthode)
et donc on obtient  x=26 mod 29 et donc on dispose d'un meilleur moyen que celui
certains persiste à imposer à leurs élèves. Voici une meilleure démonstration de ce
que je dit ici . Calculer l'inverse de  72 mod 341 . Mon schéma donnera

341.....72......53.....19.......15.......4......3......1
..............-4........-1......-2.........-1.......-3.....-1.......
..............90......-19...14........-5........4......-1......1

est donc   inverse 72 mod 341 = 90 trés simplement . Il est dit et c'est ce que se
dit dans les manuels il faut appliquer l'algorithme d'Euclide étendu : j'invite que
quelqu'un nous fasse le détail de cet algorithme et je suis persuadé qu chacun dra
Oh quelles simplifications on a avec le tableau précédent!!!!!!!!!!

(Si l'on veut je peux résoudre cet exercice par cet algorithme mais il faut avoir le
courage de donner les étapes de l'algorithme d'Euclide étendu comme certains le
préconise)

Oui j'espère voir les différentes étape de cet algorithme et ne pas se cacher derrière  
la phrase " il suffit d'appliquer l'algorithme d'Euclide étendu" ou encore moins
"il suffit d'utiliser le programme de .... "

Le "forumeurs " faites le si cela ne sera pas fait et vous verrez!!!!

Cordialement .

tu prétends remplir tes trois lignes sans faire une seule division ? tu te fous de nous ?
tes trois lignes sont exactement équivalentes à l'algorithme d'Euclide, si on n'en retient que les quotients et restes des divisions successives