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decomposition d une similitude indirecte

Posté par Céline77 (invité) 30-11-04 à 17:50

Bonjour à toutes et à tous
J'ai un probleme avec cet exercice:

Soit P un plan euclidien rapporté au repère orthon direct (o, vect i, vect j) et soit a réel de [0,pi]
On considère l'application F(a) qui à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tq:
z'=(1 + cos(2a) + i sin(2a))conjuguéde(z)+ 4 + 4i
1) Démontrer qu'il existe 2 valeurs a0 et a1 tq F(a) soit une isométrie de P.
"Ici, j'ai trouvé a0=pi/3 et a1=2pi/3"
Décomposer F(a0) et F(a1) sous la forme s°t=t°s où s est une reflexion d'axe (D) et t une translation de vecteur vectu, vectu dirigeant (D).

C'est donc cette 2ème partie qui me pose problème.
Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait super.

Posté par
franz
re : decomposition d une similitude indirecte 30-11-04 à 19:16

1/
Je suis d'accord avec toi

\large \array{ccl$ z^' & = & \(1+ \cos(2a) + i\sin(2a)\)\bar z + 4 + 4i \\ & = & \(2 \cos^2 a + i 2 \cos a \sin a \)\bar z + 4 + 4i \\ & = & 2 \cos a e^{ia} \bar z + 4 + 4i }

F(a) est une isométrie ssi
\large \forall (z_1,z_2)\in {\mathbb C}^2 \; \|z_1^'-z_2^'\| = |z_1-z_2|

\large \|z_1^'-z_2^'\| = \| 2 \cos a e^{ia} \bar z_1 - 2 \cos a e^{ia} \bar z_2\|=2 | \cos a | .| z_1-z_2 |

F(a) est uns isométrie ssi  | \cos a |=\frac 1 2 càd ssi \large a \in \{\frac \pi 3 ,\frac{ 2 \pi} 3\}

2/
En faisant \large F(a0)\circ F(a0) = (t \circ s)\circ(t \circ s) = (t \circ s)\circ(s \circ t) = t \circ (s \circ s) \circ t = t\circ t = t_{2 \vec u}

on trouve

\large \array{ccl$ z^{''} & = & 2 \cos a \; e^{ia} \; \overline {2 \cos a e^{ia} \bar z + 4 + 4i } \;+ 4 + 4i \\ & = & 4 \cos^2 a z \; \; +\; \; 2 \cos a \; e^{ia} \; (4-4i) \;+ 4 + 4i \\ & = & z + \; \; 2 \cos a \; e^{ia} \; (4-4i) }

Tu as \large t_{2 \vec u}

il n'est pas difficile de trouver s par la suite.

Posté par
franz
re : decomposition d une similitude indirecte 30-11-04 à 23:24

Voilà j'ai fini de manger,

J'ai fait une faute dans mon "copier-coller"
\large t_{2 \vec u} est la translation du vecteur d'affixe \large 2\cos a \; e^{ia}\(4-4i\)+4+4i

Dans le cas  \large a = \frac \pi 3 on trouve que l'affixe de \large \vec u vaut

\large e^{i\frac \pi 3}(2-2i)+(2+2i) = \frac {1+\sqrt 3 i}2 (2-2i)+2+2i = \(3+\sqrt 3\) + (\sqrt 3 +1\)i = 2 (1+\sqrt 3) e^{i\frac \pi 6}

Si on nomme P(y) le point issu de M(z=a+ib) par l'application  \large F\(e^{i\frac \pi 3}\) \; \circ \; t_{- \vec u}  on trouve (après calcul)que le milieu de [MP] a pour affixe
\large e^{i\frac \pi 6} \( \frac {\sqrt 3} 2 a + \frac 1 2 b \) + \( \sqrt 3 -1 \).e^{i\frac {2\pi} 3} et se trouve toujours sur la droite passant par le point d'affixe  \( \sqrt 3 -1 \).e^{i\frac {2\pi} 3} et de vecteur directeur { \vec u}

Posté par Céline77 (invité)re : decomposition d une similitude indirecte 04-12-04 à 15:38

Merci beaucoup Franz!!!




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