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Décomposition en irréductibles dans Z[i\sqrt{5}]

Posté par
curieuse21
18-04-14 à 15:19

Bonjour à tous,
Je me penche en ce moment sur la question des nombres premiers idéaux de Kummer,

Dans \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] remarquons que l'entier 21 se décompose de trois manières différentes 21=3 \times 7=(1+2i\sqrt{5})(1-2i\sqrt{5})=(4+i\sqrt{5})(4-i\sqrt{5}). On peut vérifier que 2,3,1+2i\sqrt{5}, 1-2i\sqrt{5},4+i\sqrt{5},4+i\sqrt{5} sont irréductibles et qu'ils ne sont pas égaux à une unité près. Cependant ils ne sont pas premiers car, par exemple, (1+2i\sqrt{5}) divise le produit de 3 et 7 mais ni 3, ni 7.

Cory dans Modern Algebra and the Rise of Mathematical structure dit qu'il existe 15 facteurs irréductibles de 21 dans \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] or je ne trouve que ces décompositions là, pouvez-vous m'aider à en trouver d'autres? Car du fait après je trouve seulement 4 nombres premiers idéaux, alors que Cory dit qu'il en existe 5 pour que la décomposition de 21 soit unique.

Merci pour votre aide!

Posté par
Narhm
re : Décomposition en irréductibles dans Z[i\sqrt{5}] 18-04-14 à 16:52

Bonjour,

Il y a aussi 2\pm 3i\sqrt{5}, \ 2\pm i\sqrt{5}, \ 11\pm 8i\sqrt{5}, \ 19\pm 4i\sqrt{5} qui divise, à un inversible près, 21 dans \Z[i\sqrt{5}] et qui semblent irréductibles.



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