Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice tiré d'un livre de L1 :
"Soit
deux réels. Prouver par double inclusion que
.
Le livre ne donne pas la solution. Je pense en avoir trouvé une qui, sur le fond, semble correcte. Sur la forme je ne suis pas sur. Merci de me dire ce que vous en pensez, notamment sur la rédaction. Il y a surement plus simple, n'hésitez pas à me proposer votre solution également. En vous remerciant par avance.
Pour plus de commodité, commençons par noter
.
- Soit
un réel tel que
.
Si
alors
et en prenant
, on a
donc
Si
, on peut remarquer que
peut s'écrire de la manière suivante:
.
En posant
on a
.
De plus, on a
car
Ainsi,
est de la forme
avec
d'où
.
Dans tous les cas on a donc
soit
- Soit
un réel tel que
Soit la fonction
Il existe donc
tel que
.
f est continue et dérivable sur
et on a
.
Ainsi f est une fonction croissante sur
.
On a donc
et
.
On en déduit donc
d'où
.
Ainsi,
Par double inclusion, on a donc
.