Niveau Reprise d'études

Définition de l'intervalle [a,b]

Posté par
Pixy37 14-07-24 à 13:13

Bonjour,

Voici l'énoncé de l'exercice tiré d'un livre de L1 :
"Soit $a \leq b$ deux réels. Prouver par double inclusion que $[a,b] = \left\{(1-t)a + tb, t \in [0,1] \right\}$ .

Le livre ne donne pas la solution. Je pense en avoir trouvé une qui, sur le fond, semble correcte. Sur la forme je ne suis pas sur. Merci de me dire ce que vous en pensez, notamment sur la rédaction. Il y a surement plus simple, n'hésitez pas à me proposer votre solution également. En vous remerciant par avance.

Pour plus de commodité, commençons par noter $E = \left\{(1-t)a + tb, t \in [0,1] \right\}$ .

- Soit $x$ un réel tel que $x \in [a,b]$ .
Si $a = b$ alors $x = a$ et en prenant $t = 0$ , on a $x = (1-t)a + tb$ donc $x \in E$

Si $a < b$ , on peut remarquer que $x$ peut s'écrire de la manière suivante: $x = a + \frac{x-a}{b-a} (b - a)$ .
En posant $t = \frac{x-a}{b-a}$ on a $x = a + t(b-a) = a+tb - ta = (1 - t)a + tb$ .
De plus, on a $a < x < b \Leftrightarrow 0 < x-a < b -a \Leftrightarrow 0 < t < 1$ car $b - a > 0$
Ainsi, $x$ est de la forme $(1-t)a + tb$ avec $t \in [0,1]$ d'où $x \in E$ .
Dans tous les cas on a donc $x \in E$ soit $[a,b] \subset E$

- Soit $x$ un réel tel que $x \in E$
Soit la fonction $f: [0,1] \rightarrow R$
$t \rightarrow (1-t)a + tb$
Il existe donc $t_0 \in [0,1]$ tel que $x = f(t_0)$ .
f est continue et dérivable sur $[0,1]$ et on a $f'(t) = b -a \geq 0$ .
Ainsi f est une fonction croissante sur $[0,1]$ .
On a donc $min(f) = f(0) = a$ et $max(f) = f(1) = b$ .
On en déduit donc $a \leq x = f(t_0) \leq b$ d'où $x \in [a,b]$ .
Ainsi, $E \subset [a,b]$

Par double inclusion, on a donc $[a,b] = E$ .

Posté par re : Définition de l'intervalle [a,b] 14-07-24 à 15:01

Bonjour

C'est correct. Un peu verbeux, mais tu as pris toutes les précautions.
On peut rédiger la même chose avec moins de détails, mais abondance de biens ne nuit pas!

Posté par re : Définition de l'intervalle [a,b] 14-07-24 à 15:24

Bonjour,
J'aurais tendance à conseiller de traiter à part le cas a = b.

Pour $E \subset [a,b]$ , on peut se passer de continuité.
A partir de x = (1-t)a + tb, on peut chercher les signes des réels x-a et b-x.

Posté par re : Définition de l'intervalle [a,b] 14-07-24 à 16:52

salut

ouais c'est tout de même un peu compliqué ...

en particulier pas besoin d'une dérivée pour une fonction affine connue dès la seconde ...

Pixy37 @ 14-07-2024 à 13:13

Il y a surement plus simple, n'hésitez pas à me proposer votre solution également. En vous remerciant par avance.

$x = (1 - t)a + tb \iff x - a = t(b - a)$

(si $a \le b$ et) si $t \in [0 ,1]$ alors x - a et b - a ont même signe

or $b - a \ge 0 \Longrightarrow x - a \ge 0 \Longrightarrow x \ge a$ et $t \le 1 \Longrightarrow x - a \le b - a \Longrightarrow x \le b$

Posté par re : Définition de l'intervalle [a,b] 15-07-24 à 18:55

Je vous remercie pour vos réponses et vos conseils avisés !

Posté par re : Définition de l'intervalle [a,b] 15-07-24 à 19:10

De rien, et à une autre fois sur l'île $\;$

Posté par re : Définition de l'intervalle [a,b] 18-07-24 à 15:17

Salut,
Je propose quelque chose de plus simple :

on suppose que $a<b$ et $I=\left\{(1-t)a + tb, t \in [0,1] \right\}$ . et Montrons que $[a,b]=I$

$I\subset [a,b]$

Soit $\alpha\in I$ , il existe $t_{\alpha}\in [0,1]$ tel que $\alpha=(1-t_{\alpha})a + t_{\alpha}b$ or

$\begin{array}{ll}0\le t_{\alpha}\le 1\\0\le t_{\alpha}(b-a)\le b-a\\a\le t_{\alpha}(b-a)+a\le b-a+a\\a \le \alpha \le b\end{array}$
par conséquent $\alpha\in [a,b]$

$[a,b]\subset I$

Soit $\beta\in [a,b]$

$\begin{array}{ll}a\le \beta \le b\\0\le \beta-a\le b-a\\0\le \dfrac{\beta-a}{b-a}\le 1\end{array}$
En posant $t':= \dfrac{\beta-a}{b-a}$ , on vient de montrer qu'il existe $t'\in [0,1]$ tq $(1-t')a + t'b =\beta$ donc $\beta\in I$