Bonjour,
Voici l'énoncé de l'exercice tiré d'un livre de L1 :
"Soit deux réels. Prouver par double inclusion que
.
Le livre ne donne pas la solution. Je pense en avoir trouvé une qui, sur le fond, semble correcte. Sur la forme je ne suis pas sur. Merci de me dire ce que vous en pensez, notamment sur la rédaction. Il y a surement plus simple, n'hésitez pas à me proposer votre solution également. En vous remerciant par avance.
Pour plus de commodité, commençons par noter .
- Soit un réel tel que
.
Si alors
et en prenant
, on a
donc
Si , on peut remarquer que
peut s'écrire de la manière suivante:
.
En posant on a
.
De plus, on a car
Ainsi, est de la forme
avec
d'où
.
Dans tous les cas on a donc soit
- Soit un réel tel que
Soit la fonction
Il existe donc tel que
.
f est continue et dérivable sur et on a
.
Ainsi f est une fonction croissante sur .
On a donc et
.
On en déduit donc d'où
.
Ainsi,
Par double inclusion, on a donc .
Bonjour
C'est correct. Un peu verbeux, mais tu as pris toutes les précautions.
On peut rédiger la même chose avec moins de détails, mais abondance de biens ne nuit pas!
Bonjour,
J'aurais tendance à conseiller de traiter à part le cas a = b.
Pour , on peut se passer de continuité.
A partir de x = (1-t)a + tb, on peut chercher les signes des réels x-a et b-x.
salut
ouais c'est tout de même un peu compliqué ...
en particulier pas besoin d'une dérivée pour une fonction affine connue dès la seconde ...
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :