Niveau Reprise d'études

définition de z!!

Posté par
mikel83 27-07-24 à 16:15

Bonjour à tous!
Je ne retrouve plus la définition de z!! avec z. Par exemple -7!! ?

Posté par re : définition de z!! 27-07-24 à 16:52

Effectivement, il y a un petit problème avec les entiers négatifs pairs et des prolongements analytiques par la fonction gamma qui ne collent pas avec les relations de récurrence.

Il y a une page wikipédia consacrée aux factorielles multiples (https://en.wikipedia.org/wiki/Double_factorial), mais elle n'est à mon goût pas assez explicite quant au fait que la double factorielle n'est pas définie pour les entiers pairs négatifs.

Posté par re : définition de z!! 27-07-24 à 17:06

Mais pour les impairs, comme dans ta demande, tu peux assigner une valeur à (-n)!! par récurrence

$(-1)!! = \dfrac{(-1+2)!!}{-1+2} = 1!! = 1$

$(-3)!! = \dfrac{(-3+2)!!}{-3+2} = -1$

$(-5)!! = \dfrac{(-3)!!}{-3} = \dfrac13$

$(-7)!! = \dfrac{(-5)!!}{-5} = -\dfrac1{15}$

Tu vois bien ce qui se passe, le signe alterne et en valeur absolue c'est $\dfrac{|n|}{|n|!!}$ .
D'où la relation de récurrence $(-(2n+1))!! \times (2n+1)!! = (-1)^n(2n+1)$ pour tout $n\in\Z$