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Demande d aide pour une integrale

Posté par shoulz (invité) 02-02-05 à 16:09

Bonjour a tous,

Je viens tout juste de m'inscrire afin d'essayer d'obtenir de l'aide a propos d'un sujet sur les integrales!
Dans un exercice avec l'utilisation de la methode d' integration par partie, je n'arrive pas a trouver la primitive de "racine(x²-1)"!

j'ai trouve dans un premier temps la solution suivante: "2/3 (x²-1)racine((x²-1)" mais sans certitude...

Merci pour votre aide.

Posté par
Nightmarere : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 16:44

Bonjour

As-tu essayé avec le changement de variable :

x=ch(t)\Longrightarrow dx=sh(t).dt

En effet on a :
ch^{2}(t)-1=sh^{2}(t)
donc ca nous arrange plutot bien


Jord

Posté par shoulz (invité)integration par partie (suite...) 02-02-05 à 17:13

Merci pour l'information ci dessus mais je ne suis pas encore arrive a resoudre mon probleme!(je ne comprend pas trop le changement de variable...).

ci dessous, je vous donne ce que l'on me demande de resoudre!!!

2                  2
∫  x²/(√(x²-1)  − ∫  √(x²-1)
√2                √2


encore merci pour votre aide

Posté par
Nightmarere : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 17:23

Re

Bon en fait ça change un peu tout

En effet , avec la relation de Chasle cela nous donne :

\begin{tabular}\Bigint \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}dx-\Bigint \sqrt{x^{2}-1}dx&=&\Bigint \[\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-1}\]dx\\&=&\Bigint \[\frac{x^{2}-\sqrt{x^{2}-1}^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}}dx\]\\&=&\Bigint \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}\end{tabular}

Mais la encore c'est bizarre étant donné qu'une primitive de cette fonction est :
x\to argch(x) qui n'est pas vue en terminale


Jord

Posté par
Nightmarere : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 17:23

Ah oui je viens de voir , attention , tu as oublié les "dx"


Jord

Posté par shoulz (invité)re : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 17:40

Merci pour cette reponse, mais je viens de me rendre compte d'une erreur lors ma demande precedente!
Voici la bonne ecriture des integrales:
2                     2
∫   x²/(√(x²-1) dx  − ∫   1/√(x²-1) dx
√2                    √2

On me demande de la calculer a l'aide d'une integration par partie!

excusez moi pour cette erreure d'ecriture

Posté par
Nightmarere : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 17:48

Oui donc effectivement il te faut effectivement calculer :

I=\Bigint_{\sqrt{2}}^{2} \sqrt{x^{2}-1}dx

Chose qui est bizarre en Terminale ...

Enfin , essayes toujours en écrivant :
I=\Bigint_{\sqrt{2}}^{2} 1\times \sqrt{x^{2}-1}dx
En intégrant 1 .. enfin jsuis pas sur que ça soit le moyen le plus efficace .. comme quoi rien ne vaut le bon vieux changement de variable


Jord

Posté par shoulz (invité)re : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 18:02

Merci pour pour la rapidite des reponses!

Je ne comprend toujours pas le changement de variable que vous m'indiquez de faire?

Je vais essayer de trouver un cours qui en parle, mais je doute de la reussite de ma recherche?


Posté par
Nightmarere : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 18:22

En terminale je ne crois pas que le changement de variable soit abordé...

enfin voici quand même la démonstration .

\rm I=\Bigint \sqrt{x^{2}-1}dx

En posant :
\rm x=ch(t)\Longrightarrow dx=sh(t)dt
Il advient :
\rm I=\Bigint \sqrt{ch^{2}(t)-1}.sh(t)dt

Or :
ch^{2}(a)-sh^{2}(a)=1
donc :
ch^{2}(a)-1=sh^{2}(a)

On en déduit :
\rm I=\Bigint \sqrt{sh^{2}(t)}.sh(t)dt
soit :
\rm I=\Bigint sh^{2}(t)dt

De plus :
sh^{2}(t)=\frac{1}{2}\(ch(2t)-1\)
donc :
\rm I=\frac{1}{2}\Bigint \(ch(2t)-1\)dt
soit :
\rm I=\frac{1}{2}\(2.sh(2t)-t\)

Faisons alors le changement de variable inverse :

x=ch(t)\Longrightarrow t=argch(x)

On en déduit :
\rm I=\frac{1}{2}\(2.sh(2.argch(x))-argch(x)\)

Or :
sh(2a)=2.sh(a).ch(a)
donc :
\rm I=\frac{1}{2}\(4.sh(argch(x)).ch(argch(x))\)-argch(x)
i.e
\rm I=2x.sh(argch(x))-\frac{1}{2}.argch(x)

On pourrait continuer en passant par la forme logarithmique des fonctions hyperbolique mais bon.. Il faudrait déja que tu aies compris comment venir jusque la


Jord

Posté par shoulz (invité)re : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 18:27

Merci pour votre aide!

Je vais "mediter" sur votre demonstration de changement de repere...

Bon courage pour la suite...

@+

Posté par
Nightmarere : Demande d aide pour une integrale 02-02-05 à 18:27

changement de variable
Si tu ne comprends pas ne te force pas , ce n'est pas de ton niveau ..


Jord


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