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demande d aide sur exercice avec polynome

Posté par dickie (invité) 05-09-05 à 23:36

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec les polynomes. quelqu'un peut-il m'aider et me dire si je suis sur la bonne voie ?
Exercice 1 : Déterminer les réels a,b et c tels que :

a)pour tout x réel, \frac{3x^2-x}{x^2+1}=a+\frac{bx+c}{x^2+1}
b)pour tout x réel \frac{x^2+x+1}{x-3}=ax+b+\frac{c}{x-3}

Exercice 2
1)Déterminer un polynom P de degré 3 vérifiant pour tout réel x:
P(x+1)-P(x)=x^2
2)En déduire la valeur de la somme 1^2+2^2+...+1999^2
Exercice 3
Trouver,s'ils existent les polynomes P dans chacun des cas suivants :
a)P^2(x)=3x^5-x+1
b)P^2(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x+1
Exercice 4
Soit m un réel
a)Résoudre dans \mathbb R, selon les valeurs de m, l' équation :
m.x^2+4x+1=0
b)Résoudre dans \mathbb R, selon les valeurs de m, l'équation
(m-1).x^2-(m-1)x+2=0

ma solutionExercice 1
a)\frac{3x^2-x}{x^2+1}=\frac{ax^2+a+bx+c}{x^2+1}=\frac{ax^2+bx+a+c}{x^2+1}
comme x^2+1\neq 0 on a
3x^2-x=ax^2-bx+a+c
en identifiant
4$\.\{\array{a&=&3\\-b&=&-1\\a+c&=&0}\Longleftrightarrow \{\array{a&=&3\\b&=&1\\c&=&-3}

b)\frac{x^2+x+1}{x-3}=\frac{ax^2-3ax+bx-3b+c}{x-3}
x-3=0
x=3 pour tout x réel -{3}
x^2+x+1=ax^2+(-3a+b)x+(-3b+c)
en identifiant
4$\.\{\array{a&=&1\\-3a+b&=&1\\-3b+c&=&1}\Longleftrightarrow \{\array{a&=&1\\b&=&4\\c&=&13}

Posté par jayce (invité)d aide sur exercice avec polynome 05-09-05 à 23:45

Ex 1 a)
tu as la bonne methode mais il y a une erreur de signe pour b (2ème ligne)

b) ca me semble bon


Posté par jayce (invité)demande d aide sur exercice avec polynome 05-09-05 à 23:48

Ex 2

P étant de degré 3, tu peux l'écrire P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
donc tu calcules
P(x+1)-P(x)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d-(ax^3+bx^2+cx+d)
et tu calcules a, b c et d pour que P(x+1)-P(x)=x^2

Posté par jayce (invité)demande d aide sur exercice avec polynome 05-09-05 à 23:58

Ex 2
2)
1^2=P(x+1)-P(x) avec x=1 (le polynome P dont tu viens de calculer les coef.)
donc 1^2=P(2)-P(1)
2^2=P(x+1)-P(x)=P(3)-P(2) avec x=2
etc
en addidiotnnant 1^2+2^2+...+1999¨2, il y a plein de termes qui s'éliminent, et tu te retrouve juste à calculer P(x) pour 2 valeurs et à les additionner

Posté par jayce (invité)demande d aide sur exercice avec polynome 06-09-05 à 00:11

Ex 3
pour trouver le degré du polynome, il faut ici prendre le plus haut degré et le diviser par 2 (puisqu'on prend le carré ensuite)
Par exemple, si P(x) est du type
P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
on aura
P^2(x)=a^2x^6+abx^5+(2ac+b^2)x^4+(2ad+2bc)x^3+(2bd+c^2)x^2+2cdx+d^2

si P(x) est du type
P(x)=ax^2+bx+c
P^2(x)=a^2x^4+2abx^3+(2ac+b^2)x^2+2bcx+c^2

pour le a) la réponse est donc évidente: un degré 3 est trop élevé et un degré 2 pas assez, donc....

pour le b)je te laisse faire l'identification des termes a b et c du polynome P de degré 2 (il y a, si je ne m'abuse, 2 solutions, avec des signes différents pour certains coef.)

Posté par jayce (invité)demande d aide sur exercice avec polynome 06-09-05 à 00:21

Ex 4
mx^2+4x+1=0
calcul du discriminant (D=16-4m)
x1=....
x2=....
je te laisse faire!
il y a évidement 3 cas:
D>0 (m<4) 2 solutions x1 et x2
D=0 (m=4) 1 solution double
D<0 (m>4) pas de solution dans R



(m-1)x^2-(m-1)x+2
idem:
D=(m-1)^2-8(m-1)=m^2-10m+9=(m-1)(m-9)
il faut faire un tableau de signe en fonction de m pour trouver le signe de D et déterminer les 3 cas (2 solutions, une double ou aucune)

à chaque fois évidement, les racines x1 et x2, si elles existent, sont exprimées en fonction de m

Posté par dickie (invité)Merci bcp 06-09-05 à 07:17

Merci de ton aide, j'y vois bcp plus clair !
Encore merci.

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 06-09-05 à 07:41

Pour l'exercice 2
1) Je trouve après calcul a = 1/3, b = 1/2 et c = -5/6
ce qui fait fait P = (1/3)x^3 + (1/2)x^2 - 5/6x

Est-ce bon ? ça me paraît bizarre

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demande d aide sur exercice avec polynome 06-09-05 à 08:07

Pour 1)a), on t'a proposé une méthode par identification, tout à fait juste.

Seconde méthode : tout simplement reconnaître un x^2+1 au numérateur.

\frac{3x^2-x}{x^2+1}=\frac{3(x^2+1)-x-3}{x^2+1}=3+\frac{-x-3}{x^2+1}
Cela tient en une ligne !

De même pour 1)b)

\frac{x^2+x+1}{x-3}=\frac{x(x-3)+4x+1}{x-3}=x+\frac{4x+1}{x-3}=x+\frac{4(x-3)+13}{x-3}=x+4+\frac{13}{x-3}
A nouveau en une ligne !

Nicolas


Posté par jayce (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 06-09-05 à 12:43

problème de signe pour b, donc c n'est pas bon non plus (1/3, -1/2, -1/3)

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 06-09-05 à 21:12

Merci j'ai retrouvé mon erreur.
Je ne comprend pa très bien pour l'exercice 2 petit 2)
Je m'y remet dès demain

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 17:34

Pour l'exercice 2 2) n'y a-t-il pas d'autre moyen que de calculer tous les carrés jusqu'à 1999^2 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 17:42

P(1)-P(0)=0^2
P(2)-P(1)=1^2
P(3)-P(2)=2^2
...
P(2000)-P(1999)=1999^2

Additionne toutes ces lignes. Tu te rends compte que des simplifications apparaissent à gauche.

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 18:03

Je vois pa de simplifications apparaitre à gauche
Il doit y avoir un moyen de pas tout calculer sinon la prof n'aurait pas donner des nombres si grand.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 18:08

Regarde mieux !
les P(1) se simplifient !
les P(2) se simplifient !
etc...
Il reste :
P(2000)-P(0)=O^2+1^2+...+1999^2

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 18:10

Ah oui !!!
merci beaucoup j'ai compris, je ne regardé pas au bon endroit !
Encore merci

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 19:07

Pour l'exercice 3 voici mes résultats
a) Il n'y a pas de possibilité
b) Je trouve P(x) = x^2 - 3x + 1
Je ne suis pas sur car j'ai identifier les a, b et c de P^2(x)

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 07-09-05 à 21:40

Pour l'exercice 4
Une fois que j'ai trouvé les racines je met sous forme
Par exemple pour D supérieur à 0 je met sous forme de a(x-x1)(x-x2) ? avec les racines x1 et x2 que j'ai trouvé ?c'est juste ça la résoolution où il faut faire autre chose ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demande d aide sur exercice avec polynome 08-09-05 à 09:00

dickie,

exercice 3
Tu n'as qu'à développer le P(x)^2 que tu as trouvé, pour voir si tu retrouves bien ce qu'il fallait !

exercice 4
L'énoncé est clair : on te demande de "résoudre", c'est-à-dire de donner les racines.

Posté par dickie (invité)re : demande d aide sur exercice avec polynome 08-09-05 à 09:24

Merci Nicolas_75 et merci aussi à Jayce
Pour toutes vos aides sans lesquelles je n'aurais pas pu faire ces exercices.
Encore merci


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