Inscription / Connexion Nouveau Sujet
demande de vérification
bonsoir, je m'adresse denouveau a vous car j'ai besoin
d'une confirmation sur une déviré, la voici :
fn( x ) = x^(n + 1/2 ) * [( 1 - x )^1/2
je trouve ceci :
f'n( x ) = ( V1 - x )[( n + 1/2x^( n + 1/2 ) - [( 1/( 2V1 - x )]
voila, puis après on me pose une question dont je ne comprend pas très bin
le snes de ce qu'il faut faire, on me demande de démontrer que
f'n a le meme signe que ( n + 1/2 ) - ( n + 1 )x, donc, je me
demandais si ma dérivé devais arriver a ce résultat mais je vois
que non, c'est pour cela que je doute de ma dérivé, puis que
faut-il faire pour cette démonstration ?
Merci beaucoup et a la prochaine.
Soit fn(x)=x^(n+1/2)*sqrt(1-x)
f'n(x)=(n+1/2)*x^(n-1/2)*sqrt(1-x)+x^(n+1/2)*(-1)*(1/2)*(1/sqrt(1-x))*sqrt(1-x)
Sachant que x^(n+1/2)=x*x^(n-1/2), f'n devient :
f'n(x)=sqrt(1-x)*x^(n-1/2)*[(n+1/2)-x/2(1-x)]
f'n(x)=sqrt(1-x)*x^(n-1/2)*[(n+1/2)*(1-x)-x/2]*(1/(1-x))
f'n(x)=[(x^(n-1/2))/sqrt(1-x)]*[(n+1/2)-(n+1/2+1/2)x]
f'n(x)=[(x^(n-1/2))/sqrt(1-x)]*[(n+1/2)-(n+1)x]
Or le domaine de définitiion de f'n est [-1;1[; sur ce domaine,
sqrt (1-x)>0 (car sqrt est toujours positive)Etudions le signe de
x^(n-1/2) :
si n pair, alors n=2p d'où x^(n-1/2)=(x^2p)/sqrt(x)toujours positif
car x^2p est un carré et 1/sqrt(x)>0
si n impair, alors n=2p+1 d'où x^(n-1/2)=(x^2p)*sqrt(x)toujours
positif car x^2p est un carré et sqrt(x)>0
Ainsi x^(n-1/2)>0 sur le domaine de définition
Donc f'n(x) a le même signe que (n+1/2)-(n+1)x
CQFD
Annuler
connectez vous