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Niveau seconde
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démonstration

Posté par
Mbacke313 26-11-17 à 03:27

salut les amis quelqu'un peut m aider à faire cet exercice:  soit a, b , c, strictement positifs, demontrer que :
a+b/(a au carré + b au carré) + (b + c)/(b au carré + c au carré)  + (a+c) /( a au carré + c au carré) inférieur ou égal à  1/a + 1/b + 1/c.
merci pour votre attention. je compte vraiment  sur vous.

Posté par
Yzzre : démonstration 26-11-17 à 04:07

Salut,

Tu as essayé quoi ?

Posté par
vhamre : démonstration 26-11-17 à 10:55

Bonjour,

essayer séparément les 3 inéquations : \frac{a+b}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ \ \ \frac{b+c}{b^2+c^2}\leq\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ \ \ \frac{c+a}{c^2+a^2}\leq\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}

leur addition donne bien l'inéquation globale...

Posté par
Mbacke313re : démonstration 26-11-17 à 16:58

bonjour vham
j ai continué ce que vous commencez, finalement j ai trouvé:  (a+b)^2>0 ;
(b+c)^2>0   et (c+a)^2>0.
malheureusement je ne pus pas comment j ai fait car le téléphone ne me le permet pas. mais je pense que j ai bien fait.
en tout cas merci beaucoup de m avoir aidé c est vraiment gentil merci encore.

Posté par
sam1re : démonstration 26-11-17 à 20:44

bonjour Mbacke 313

je t'ai fais un petit brouillon au cas ou


{ \left( a-b \right)  }^{ 2 }\ge 0\quad \Leftrightarrow { \quad a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\ge 2ab\quad \Leftrightarrow \frac { a+b }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \le \frac { 1 }{ 2 } \frac { a+b }{ ab } \\

...

...

\Leftrightarrow \frac { a+b }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } +\frac { b+c }{ { b }^{ 2 }{ +c }^{ 2 } } +\frac { a+c }{ { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } \le \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) \frac { a+b }{ ab } +\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) \frac { b+c }{ bc } +\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) \frac { a+c }{ ac }


\Leftrightarrow\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad   \le \quad \frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } +\frac { 1 }{ c } +\frac { 1 }{ b } +\frac { 1 }{ c } +\frac { 1 }{ a } \right]

\Leftrightarrow\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \le \frac { 1 }{ a } +\frac { 1 }{ b } +\frac { 1 }{ c }

Posté par
Mbacke313re : démonstration 26-11-17 à 20:56

oui c est exactement ça donc j ai fait une erreur en disant (a+b)^2 au lieu de (a-b)^2
merci. pourtant je voudrais écrire (a-b)^2, car j ai résonné avec. En tout cas merci beaucoup vous m avais vraiment aidé


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