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Niveau seconde
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démonstration

Posté par
Mbacke313
04-12-17 à 03:33

bonsoir tout le monde voulez vous m aider s il vous plaît pour cet exercice.

montrer que : 1/(2n) +1/(2n-1)+...+ 1/(n+1)=>1/2(n € N*).

je ne sais pas par où commencer. merci d avancer

Posté par
Yzz
re : démonstration 04-12-17 à 06:42

Salut,

Somme incompréhensible, énoncé à vérifier.
Tu as essayé quoi ?

Posté par
nyto
re : démonstration 04-12-17 à 06:48

Bonjour je comprend pas bien ta somme

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 07:34

Bonjour,
??
c'est pourtant clair !

1/(2n) +1/(2n-1)+...+ 1/(n+1) \red \ge 1/2 (et pas \Rightarrow 1/2)

n = 1 somme = 1/2
n = 2 somme = 1/4 + 1/3 = 7/12 > 1/2
n = 3 somme = 1/6 + 1/5 + 1/4 = 37/60 > 1/2
etc

je n'ai pas cherché : pas d'idées pour l'instant.

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 07:45

PS : en fait on va attendre les idées de Mbacke313

Citation :
Tu as essayé quoi ?

se poser les bonnes questions :
comment, par quelles méthode générales de raisonnement, de façon générale, pourrait-t-on démontrer quelque chose sur une suite Sn ?
quelle méthode ultra simple pourrait montrer qu'une somme est supérieure à quelque chose ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 11:19

Trouve le terme le plus petit de la somme et le nombre de termes puis écris que la somme est plus grande que le nombre de termes multiplié par le plus petit.

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 11:39

c'est la méthode la plus expéditive (celle que je suggérais en deuxième) :
si on peut minorer chaque terme d'une somme, on peut minorer cette somme (écrire qu'elle est > quelque chose)

de même on peut majorer cette somme et prouver qu'elle est toujours < 1
ça pourrait servir pour une suite à l'exo ...

Posté par
lake
re : démonstration 04-12-17 à 13:03

Bonjour,

Citation :
ça pourrait servir pour une suite à l'exo ...


Une suite éventuelle en terminale moyennant quelques questions intermédiaires:

  - Montrer que u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}

  - Montrer que (u_n) est croissante et qu'elle est convergente.

  - Montrer que sa limite est\ln\,2

Posté par
lake
re : démonstration 04-12-17 à 13:04

Ah! plus de \LaTeX

Posté par
malou Webmaster
re : démonstration 04-12-17 à 13:16

oui, je viens de prévenir...

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 13:18

le passage par la formule en -1^(k+1) est inutile à mon avis...

mais de toute façon cette suite à l'exo n'est bien évidemment pas demandée en seconde !!

c'était pour illustrer que en seconde on pouvait aussi facilement majorer que minorer, le principe est le même.
et on s'arrête là.

Posté par
lake
re : démonstration 04-12-17 à 13:25

Citation :
le passage par la formule en -1^(k+1) est inutile à mon avis...


Qu'est-ce qui est utile dans un exo de maths ?

Citation :
et on s'arrête là.


Ce n'est pas moi qui a parlé de suite à l'exo
Je n'ai fait que commenter...

Posté par
sam1
re : démonstration 04-12-17 à 13:32

mathafou @ 04-12-2017 à 13:18

le passage par la formule en -1^(k+1) est inutile à mon avis...

mais de toute façon cette suite à l'exo n'est bien évidemment pas demandée en seconde !!

c'était pour illustrer que en seconde on pouvait aussi facilement majorer que minorer, le principe est le même.
et on s'arrête là.


je ne sais pas dans quel bahut étudie Mbacke313   ça décoiffe parfois!

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 13:43


utile/inutile : pour montrer le but final qui est (serait en Terminale) de prouver qu'elle converge vers ln(2)
après je suis d'accord qu'on peut ajouter autant de questions "annexes" qu'on veut ...


"une suite à l'exo" : oui, oui,
mais je ne suggérais pas d'aller plus loin que majorée (aussi facile que > 1/2) et à la rigueur croissante (assez facile)
et encore, vu que détailler cette suite risque d'égarer le demandeur de cette discussion-ci

"croissante" est d'ailleurs une autre façon de faire l'exo tel qu'il est :
si elle est croissante (la suite Sn, somme pour n) elle est à son premier terme qui vaut S1 = 1/2

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 04-12-17 à 15:30

bonsoir tout le monde. je m excuse d avoir si tardivement répondre aux questions posées.  j étais en classe.
pour l exercice moi je n ai aucune idée. je ne sais même pas par où commencer mais c est bien ainsi qu on nous l a donné. il n y a pas d erreur. il fait partir d une serie donnée en classe. s il n est pas pour la classe de seconde , c est peut-être raison pour laquelle je ne peux pas avoir idée. mais c est bien ainsi qu on me l a donné,  il n y a vraiment pas d erreur.

Posté par
Glapion Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 16:03

Et maintenant tu sais le résoudre avec les indications que l'on t'a données, j'espère ?

Posté par
alb12
re : démonstration 04-12-17 à 17:31

salut,
comment un eleve de seconde peut-il s'y retrouver dans toutes ces digressions ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 18:22

Quand même ! appliquer "Trouve le terme le plus petit de la somme et le nombre de termes puis écris que la somme est plus grande que le nombre de termes multiplié par le plus petit" c'est pas du chinois !

Posté par
alb12
re : démonstration 04-12-17 à 18:49

le redire n'est certainement pas inutile

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 04-12-17 à 22:34

oui. mais presque, car j y comprends rien du tout

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 04-12-17 à 22:47

quel est le plus petit nombre parmi

1/2n, 1/(2n-1), .... 1/(n+1) ?

et si par exemple
a > m
b > m
c > m
alors a+b+c > 3m

pour notre somme, combien y a-t-il de termes dans la somme ?

la phrase de Glapion est pourtant claire
tout le reste est inutile pour toi

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 05-12-17 à 01:27

je pense qu on a trois termes. et 1/2n et le plus petit?

Posté par
Yzz
re : démonstration 05-12-17 à 07:04

Trois termes ?!
Connais-tu la signification des pointillés ?

Citation :
1/(2n) +1/(2n-1)+...+ 1/(n+1) >= 1/2

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 05-12-17 à 08:41

nn je ne sais vraiment pas. pouvez-vous m expliquer s il vous plaît?

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 05-12-17 à 10:15

j'avais même donné des exemples !!

Citation :
1/(2n) +1/(2n-1)+...+ 1/(n+1) 1/2

n = 1 somme = 1/2
n = 2 somme = 1/4 + 1/3
n = 3 somme = 1/6 + 1/5 + 1/4
j'en rajoute deux autres :

n = 4 somme = 1/8 + 1/7 + 1/6 + 1/5
n = 5 somme = 1/10 + 1/9 + 1/8 + 1/7 + 1/6
etc

"..." veut dire "on continue comme ça jusqu'à"
on a autant de termes qu'il faut pour en partant du dénominateur 2n et en diminuant de 1 arriver à n+1

oui, le plus petit est 1/(2n), celui qui a le plus grand dénominateur.

combien y a-t-il de termes (mes exemples montrent que le nombre de termes dépend de n)

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 05-12-17 à 14:43

ah dkor je comprends très bien maintenant. Merci Mathafou. c est vraiment genti. j en suis vraiment reconnaissant. vous êtes énormément fort. longue vie pour vous

Posté par
Glapion Moderateur
re : démonstration 05-12-17 à 16:15

oui longue vie, mais alors ? combien y a-t-il de termes ?
et donc comment peut-on minorer cette somme finalement ?,

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 07-12-17 à 09:07

je pense qu on ne peut pas trouver le nombre de termes nécessaires car j ai continué la démarche jusqu'à j ai trouvé 16 termes et je n atteins toujours le nombre de termes nécessaires et je remarque que plus que la valeurs de n augmente plus la somme augmente donc toujours > 1/2. je crois donc il faut arrêté quelques parts et conclure.

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 07-12-17 à 09:09

bonjours Glapion

excuse moi de vous répondre si tardivement. j avais des devoirs ces jours passés.

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 07-12-17 à 09:13

concernant la minoration  de cette somme je ne comprends vraiment pas

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 07-12-17 à 09:51

Citation :
le nombre de termes nécessaires
??? nécessaire à quoi donc ???

on te demande de dire le nombre de termes de la somme avec n
des seuls termes 1/2n, 1/(2n-1) etc jusqu'à n+1

combien y a-t-il de termes dans cette somme, en fonction de n


si n = 4 par exemple, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5 il y 4 termes dans CETTE somme (pas dans je ne sais quelle autre)

si n = n écrit n, combien y a-t-il de termes dans la seule somme 1/2n + 1/(2n-1) + etc + 1/(n+1)
combien y a-t-il de nombres entre le nombre n+1 et le nombre 2n inclus ?

ça dépend de n, donc la réponse est "quelque chose de précis avec n dedans".
quoi exactement ?

Citation :
et je remarque que
ça, ça donne une conjecture
on te demande une preuve.

mais tant que tu ne sauras pas répondre à la question combien y a-t-il de nombres (en fonction de n) entre n+1 et 2n inclus tu resteras bloqué.

par exemple entre 1 et 3n inclus il y a 3n nombres
entre 5 et n inclus il y a n-4 nombres
etc
entre n+1 et 2n inclus il y a ???

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 10-12-17 à 01:03

je comprends vraiment pas. j ai longuement réfléchi mais j arrive pas à comprendre

Posté par
mathafou Moderateur
re : démonstration 10-12-17 à 07:42

il y a n termes dans une liste de nombres de n+1 à 2n inclus
et si tu n'arrives pas à voir ça c'est sans espoir pour quoi que ce soit

et j'ai même donné des exemples numériques
n = 3 : 3 termes
n = 4 : 4 termes etc

de façon générale dans une liste de nombres de a à b inclus il y a b-a+1 termes
de 31 à 60 inclus il y a 60-31+1 = 30 termes

ici chacun de ces termes est supérieur au plus petit de ces termes et on a dit lquel
donc la somme est supérieure à n fois ce plus petit terme
donc supérieure à ... (simplifier la fraction obtenue et c'est FINI

cet exo tient en deux phrase et c'est tout ....
on ne peut même pas parler de calcul ici !!

Posté par
Mbacke313
re : démonstration 11-12-17 à 14:38

oui c est vrai. je suis d accord peut être l exercice est au dessus de mon niveau c est pourquoi j arrive pas à comprendre. en tout cas merci et à bientôt



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