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Niveau terminale
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Démonstration

Posté par
pfff
12-05-20 à 19:22

Bonjour, je n'arrive pas à démontrer ca :

on a : lnx x - 1
Démontrer que e^x x + 1

Merci de m'aider

Posté par
lake
re : Démonstration 12-05-20 à 19:27

Bonjour,

Citation :
lnx x - 1


... pour x>0

Et si tu remplaces x par X+1 (avec X>-1)

Posté par
pfff
re : Démonstration 12-05-20 à 19:39

J'ai oublié les intervalles, désolé

on a : x ] 0 ; + [, lnx x - 1
Démontrer que   x , e^x x + 1

Posté par
pfff
re : Démonstration 12-05-20 à 19:40

Je n'ai pas compris votre message

Posté par
lake
re : Démonstration 12-05-20 à 19:50

Que donne \ln\,x\leq x-1 si tu poses x=X+1 ?

Posté par
carpediem
re : Démonstration 12-05-20 à 19:59

salut

autre méthode : \ln x \le x - 1 => x \le e^x e^{-1} \iff e^x \ge ex   car exp est croissante ...

il suffit donc de montrer que : x > 0 => ex \ge x + 1

...

Posté par
lake
re : Démonstration 12-05-20 à 20:03

Citation :
il suffit donc de montrer que : x > 0 => ex \ge x + 1


qui est faux...

Posté par
Ryanprepa
re : Démonstration 12-05-20 à 20:11

Salut

Accroissement finis non ?
Sur [1;x] en remarquant que la dérivée de ln est majorée par 1 sur [1;+inf[

Posté par
lake
re : Démonstration 12-05-20 à 20:16

Bon, je vous laisse.

Posté par
Ryanprepa
re : Démonstration 12-05-20 à 20:18

Salut lake
Le soucis c'est que je suis pas sûr que le TAF soit au programme de TS
pfff nous le dira

Posté par
loshleo
re : Démonstration 12-05-20 à 20:33

Bonsoir, c'est également possible comme ça ?
ln(x)x-1
x-1ln(x)
xln(x)+1
exx+ex+1

Posté par
carpediem
re : Démonstration 12-05-20 à 20:34

le passage de la 3e à la 4e ligne est faux ...

Posté par
loshleo
re : Démonstration 12-05-20 à 20:39

Ah oui autant pour moi, ln(xe)=ln(x)+1 ops

Posté par
malou Webmaster
re : Démonstration 12-05-20 à 20:49

Bonjour à tous
pourquoi ne pas attendre que la méthode impulsée par le premier accompagnant n'ait pas été menée à terme pour intervenir ?
Bonne soirée

Posté par
Ryanprepa
re : Démonstration 12-05-20 à 20:54

Bonsoir malou
C'est vrais désolé.

Posté par
pfff
re : Démonstration 12-05-20 à 22:35

lake @ 12-05-2020 à 19:50

Que donne \ln\,x\leq x-1 si tu poses x=X+1 ?


ça passe merci beaucoup lake voici comment j'ai fait :

on a lnx x - 1 , en posant x = X + 1 on obtient :

ln(X+1) X e^{ln(X+1)} \leq e^X
                             e^x \geq X + 1

Posté par
lake
re : Démonstration 12-05-20 à 22:49

Oui, mais n'oublie pas que tu as fait la démonstration pour X>-1 (voir 19h27).

Si X\leq -1, l'inégalité à démontrer est immédiate (avec X+1\leq 0)

Posté par
pfff
re : Démonstration 12-05-20 à 23:16

ah oui j'oubliais le X
mais j'ai répondu à la question posée ou pas

et puis je n'ai pas bien compris  votre message de 22h49

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 00:09

voici comment j'ai fait, j'ai fait sans poser de X

On a lnx x - 1
en appliquant la formule à x+1 on obtient :

ln(x+1)   x e^{ln(x+1)} \leq e^x
                           e^{x} \geq x+1
  

Posté par
ciocciu
re : Démonstration 13-05-20 à 08:53

Salut
Le pb c'est que lnx<x-1 est valable pour x>0
Donc si tu fais le changement de variable  x=X+1
Comme x>0 cela donne X+1>0  donc X>-1
Donc tu montres que e[sup]X/sup]>X+1 mais uniquement si X>-1
Or on te demande de le montrer sur |R
Donc il te manque la partie X<-1
C'est plus clair là ?

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 15:07

Je fais comment pour l'autre partie ?

Posté par
lake
re : Démonstration 13-05-20 à 15:09

Citation :
Si X\leq -1, l'inégalité à démontrer est immédiate (avec X+1\leq 0)

Posté par
ciocciu
re : Démonstration 13-05-20 à 15:11

Euh essayer et réfléchir ma parait pas mal
Si x<-1 ça signifie que x+1 <0
Et exil est comment ?
Donc tu conclus

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 15:18

Comment par rapport à quoi ?
Si c'est par rapport à 0 e^x>0

Posté par
lake
re : Démonstration 13-05-20 à 15:31

Je voulais laisser le champ libre à ciocciu mais le temps passant...

>>pfff

N'as-tu pas dans le cas où X\leq -1, la chaîne d'inégalités:

   X+1\leq 0 <e^X ,

Et donc ?

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 21:02

ah  je vois donc

e^x > 0

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 21:11

Pour récapituler

on a lnx x - 1 , en posant x = X + 1 avec x> 0 d'ou X> -1 on obtient :

ln(X+1) X e^{ln(X+1)} \leq e^X
                             e^x \geq X + 1

ensuite avec  X  < -1
on a X+1  <. 0  <. e^x

en conclusion x e^x x+1

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 21:12

Désolé pour mon message de 21h02 ignorez ça

Posté par
lake
re : Démonstration 13-05-20 à 21:13

Ce qu ‘il faut surtout « voir »:

C'est que si X \leq -1, alors,

e^X\geq X+1

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 21:21

oui oui merci

Posté par
lake
re : Démonstration 13-05-20 à 21:26

De rien pfff.
J'espère juste que tu as compris la démarche « logique »

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 21:30

oui très clair !

On a montré pour  x > -1, e^x x+1
et pour x -1, e^x x+1

d'ou x , e^x x+1

Posté par
lake
re : Démonstration 13-05-20 à 21:32

C'est un beau résumé.
Je vois que tu as compris

Posté par
pfff
re : Démonstration 13-05-20 à 21:39


Merci et bonne fin de journée lake

Posté par
lake
re : Démonstration 13-05-20 à 21:41

Comme d'habitude:

de rien et bonne soirée à toi pfff

Posté par
pfff
re : Démonstration 22-05-20 à 20:28

Bonjour :

1/ on a : lnx x - 1
Démontrer que e^x x + 1

Nouvelle Question :

En utilisant la question 1/, démontrer que pour tout x   , on a : e^-^x + x - 1 0 et pour tout x   n on a : 1 + (x-1)e^x0

Pour le premier :

On a e^x x + 1
J'ai posé X=-x, x R ; X R

pour X R on a e^-^X -X +1 e^-^X  + X - 1 0

c'est bon ?

Posté par
carpediem
re : Démonstration 22-05-20 à 21:10

donc si je comprends bien tu fais des choses sans savoir ce que tu fais ... puisque tu ne sais pas si c'est bon ou pas ...

PS : il serait préférable de mettre des implications quand c'est suffisant (même s'i y a équivalence)

Posté par
lake
re : Démonstration 22-05-20 à 21:13

Bonsoir,

Citation :
c'est bon ?


Mais oui, en doutais-tu ?

Posté par
pfff
re : Démonstration 22-05-20 à 21:14

ok d'accord.
Donc je suppose que j'ai trouvé. Merci et Bonne soirée

Posté par
pfff
re : Démonstration 22-05-20 à 21:16

Citation :
Mais oui, en doutais-tu ?


un peu



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