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Démonstration

Posté par
matheux14 24-10-22 à 18:26

Bonsoir,

Merci d'avance.

Montrer que  : \forall  n \in \N, ~~\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}.

J'ai essayé de faire par récurrence mais çà devient lourd après..

Du coup j'essaie de simplifier l'expression mais toujours rien d'intéressant.

Mais l'équation la plus juste que j'obtiens est \dfrac{n^2 \times (n^2 - 1)\times(n^2 - 2) \times \dots \times1}{(n\times(n - 1)\times(n - 2)\times \dots \times1)^n}.

Au début je pensais trouver une relation avec les combinaisons, mais il me semble que je suis encore très loin de là.

Posté par
carpediemre : Démonstration 24-10-22 à 18:29

salut

peux-tu préciser l'énoncé ?

Posté par
matheux14re : Démonstration 24-10-22 à 18:37

Je n'ai pas l'énoncé complet, j'ai recherché sur google mais pas de résultat.

Peut-être une mini question d'un concours X-ENS..

Posté par
carpediemre : Démonstration 24-10-22 à 18:40

mais t'es-tu relu ?

matheux14 @ 24-10-2022 à 18:26


Montrer que  : \forall  n \in \N, ~~\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration 24-10-22 à 18:40

Montrer que quoi ?

Posté par
verdurinre : Démonstration 24-10-22 à 18:43

Bonsoir,
ce qui manque à ton énoncé est une question ou même une affirmation.
\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n} n'a aucune valeur de vérité.

C'est un peu comme si on écrivait \forall n\in \N~~2.

Posté par
carpediemre : Démonstration 24-10-22 à 18:45

plus précisément ce qui manque est (au moins) un verbe ...

Posté par
matheux14re : Démonstration 24-10-22 à 18:46

Ah désolé,

Montrer que  : \forall  n \in \N, ~~\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n} est un entier.

Posté par
verdurinre : Démonstration 24-10-22 à 21:38

On peut utiliser la décomposition de n en facteurs premiers.
Mais je n'ai pas essayer de faire une démonstration. C'est juste une idée en passant.

Posté par
jandri Correcteurre : Démonstration 24-10-22 à 21:52

Bonjour,

une méthode : utiliser la formule de Legendre et montrer que n\lfloor x\rfloor\leq\lfloor nx\rfloor

Posté par
Rintarore : Démonstration 24-10-22 à 22:59

Bonsoir,

je ne veux pas bloquer les pistes de jandri et verdurin qui utilisent de très beaux résultats, mais il me semble qu'on peut faire plus simple avec des arguments combinatoires. On cherche la façon de on répartir n² éléments en n paquets de n éléments (il y a du coefficient multinomial si je ne me trompe pas, mais il est tard et j'ai peur de dire des bêtises).

J'encourage matheux14 a suivre la piste de jandri avant tout de chose parce que les résultats en valent la peine, à voir si ces derniers sont accessibles.

Posté par
matheux14re : Démonstration 24-10-22 à 23:01

jandri @ 24-10-2022 à 21:52

Bonjour,

une méthode : utiliser la formule de Legendre et montrer que n\lfloor x\rfloor\leq\lfloor nx\rfloor


Je ne vois pas le lien entre la formule v_p(n) = \dfrac{n - s_p(n)}{p - 1}

Pourquoi est-ce qu'on devrait utiliser cette formule ?

Posté par
matheux14re : Démonstration 24-10-22 à 23:04

v_p(n{ \red{!}}) = \dfrac{n - s_p(n)}{p - 1}

Avec sp la somme des chiffres de n en base p.

Posté par
jandri Correcteurre : Démonstration 24-10-22 à 23:14

matheux14
si tu avais lu plus attentivement ce que j'ai écrit tu aurais compris que c'est la première forme de la formule de Legendre que j'utilise puisque j'écris après une inégalité avec les parties entières.

Posté par
jandri Correcteurre : Démonstration 24-10-22 à 23:21

Rintaro
tu as parfaitement raison, on a même plus généralement : \dfrac{(ab)!}{(a!)^b} est un entier (coefficient multinomial).

Posté par
matheux14re : Démonstration 24-10-22 à 23:30

v_p(n!) = \sum^{\infty}_{k = 1} \left \lfloor \dfrac{n}{p^k} \right \rfloor =  \left \lfloor \dfrac{n}{p} \right \rfloor +  \left \lfloor \dfrac{n}{p^2} \right \rfloor + \dots +  \left \lfloor \dfrac{n}{p^n} \right \rfloor + \dots

Je ne vois pas non plus le lien avec  \dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}..

Posté par
ty59847re : Démonstration 24-10-22 à 23:52

Est-ce que 'formule de Legendre', c'est un truc que tu as appris en cours. Si oui, c'est la piste, sinon...

Ca permettra de coordonner les aides.

Posté par
matheux14re : Démonstration 25-10-22 à 09:59

Je veux juste savoir pourquoi est-ce qu'on devrait utiliser cette formule et montrer que n\lfloor x\rfloor\leq\lfloor nx\rfloor, j'ai tout lu sur wikipédia même si certaines notions me sont étrangères comme "p-adique" par exemple..

Posté par
jandri Correcteurre : Démonstration 25-10-22 à 17:12

Je n'ai pas dit qu'on devait utiliser la formule de Legendre, c'est seulement un possibilité de démonstration.

De v_p\left(\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}\right)= \sum^{\infty}_{k = 1} \left \lfloor \dfrac{n^2}{p^k}\right \rfloor-n\sum^{\infty}_{k = 1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k} \right \rfloor et \lfloor nx\rfloor\geq n\lfloor x\rfloor on déduit immédiatement que v_p\left(\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n}\right)\geq0.

Posté par
matheux14re : Démonstration 25-10-22 à 18:12

Donc la somme \sum^{\infty}_{k = 1} \left \lfloor \dfrac{n^2}{p^k}\right \rfloor-n\sum^{\infty}_{k = 1}\left\lfloor\dfrac{n}{p^k} \right \rfloor est finie, soit (n!)^n | (n^2)!

La formule de Legendre nous donne bien la valuation  (n!)^n -addique de (n^2)!

Conclusion : \forall  n \in \N, ~~\dfrac{(n^2)!}{(n!)^n} est un entier.

Posté par
Ulmierere : Démonstration 25-10-22 à 18:27

Non, les sommes que tu as écrites, sont toujours finies. C'est le fait que
- pour tout p premier,
- la différence des deux est positive

qui permet de dire que (n!)^n divise (n^2)!.


Il ne s'agit pas de la valuation (n!)^n-adique, mais de la valuation p-adique pour tout p. Si tu ne sais pas ce qu'est une valuation, écris simplement que pour tout entier naturel m,

m! = \prod_{p\in\mathcal{P}} p^{\alpha_m(p)}
avec \alpha_m(p) = \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor\dfrac{m}{p^k}\right\rfloor

Donc pour tous autres entiers naturel q et j, \dfrac{m!}{(q!)^j} = \prod_{p\in\mathcal{P}} p^{\alpha_m(p)-j\alpha_q(p)}

ne peut être un entier que si tous les exposants \alpha_m(p)-j\alpha_q(p) sont positifs ou nuls

Posté par
matheux14re : Démonstration 25-10-22 à 19:00

Merci

Posté par
Ulmierere : Démonstration 25-10-22 à 19:03

Posté par
matheux14re : Démonstration 12-11-22 à 11:27

Bonjour, comment répartir n² objets en n paquets de n éléments ?

* n² est le nombre des objets répartis en n paquets, chaque paquet contenant n objets identiques, le nombre d'arrangements  de ces n² d'objets est serait \dfrac{(n^2)!}{(n!)^n} et comme le nombre d'arrangement ne peut qu'être entier alors  \dfrac{(n^2)!}{(n!)^n} est un entier.


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