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Niveau maths spé
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Démonstration d'une inégalité entre deux fonctions

Posté par
Ea1
15-05-18 à 20:32

Bonne soirée,

Soit: \teta (x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^x}

On veut montrer que pour tout nombre réel x de E  = ]0 ; +\infty[ on a:

1-\frac{1}{2x} \le \teta (x)

Comment procéder s'il vous plait?

Merci infiniment.

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration d'une inégalité entre deux fonctions 15-05-18 à 21:28

bonsoir
2x ou 2^x, en bas de la fraction ?

Posté par
Ea1
re : Démonstration d'une inégalité entre deux fonctions 15-05-18 à 22:48

lafol @ 15-05-2018 à 21:28

bonsoir
2x ou 2^x, en bas de la fraction ?

Un 2.x

Posté par
jsvdb
re : Démonstration d'une inégalité entre deux fonctions 15-05-18 à 23:54

Bonsoir Ea1.
Ce que tu notes (x) est communément connu dans la littérature sous le nom de fonction êta de Dirichlet : x\mapsto \eta(x)
Elle vérifie, à x fixé strictement positif, le critère des séries alternées et a pour limite 1/2 en 0.

Donc, du critère des séries alternées, on déduit que  \forall x > 0, ~1- \dfrac{1}{2^x} \leq \eta(x) \leq 1

Maintenant, on a pour x\notin [1;2], 1- \dfrac{1}{2x} \leq 1- \dfrac{1}{2^x} donc l'inégalité cherchée est vraie au moins en dehors de cet intervalle.

Après, il faut regarder ce qu'il se passe dans [1;2] : les fonctions x \mapsto 1- 1/2x et êta sont croissantes donc il va falloir faire de la croissance comparée à base de dérivation.

Posté par
jsvdb
re : Démonstration d'une inégalité entre deux fonctions 15-05-18 à 23:57

NB : dans l'intervalle ]0;1/2], la minoration est assez grossière et triviale puisque eta est positive et 1-1/(2x) négatif.



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