Voilà un exercice (enfin la première partie seulement) sur lequel je bloque vraiment. Le but final est de démontrer que si une dérivée est positive, la fonction est croissante et inversement.
Soit une fct définie sur [a;b], continue et dérivable sur ]a;b[
On pose f'(x)>0 sur ]a;b[
la fonction est croissante sur ]a;b[
1 - On fait la supposition qu'il existe un nombre j appartenant à ]a;b[ tel que f(j) inférieur ou égal à f(a)
On pose k tel que a<k<j
a) montrer que si a<x<k alors on a f(x)<f(k)<f(j)
b) en déduire la contradiction avec le fait que la fonction soit continue en a
c) de a) et b) , déduire que si a<x<b alors f(a)<f(x)
Voilà!
pour l'instant j'ai fait la a)en utilisant le fait que la fonction soit croissante : on a a<x<k<j donc comme la fct est croissante, f(a)<f(x)<f(k)<f(j)
pour la b), j'ai essayer d'utiliser que f'(x) = (f(x)-f(x0))/ (x-x0) mais je sèche...
merci d'avance!
Bonjour
je pense que tu dois pas utiliser le fait que la fonction est croissante car but de l'excercice est de démontrer la fonction est croissante dit moi si je me trompe
justement, c'est là que l'énoncé manque de clarté, car le but est bien de démontrer que la fct est croissante, mais c'est aussi clairement indiqué dans l'énoncé.... en fait je suppose qu'il faut démontrer par l'absurde que l'inverse n'est pas possible, mais alors quand faut-il utiliser les hypothèses qui sont vraies, et celles qui sont fausses (comme f(j)<f(a))??
en tout cas, merci beaucoup de te pencher sur ce problème
un pitit up, je sais qu'il est dur, mais personne n'a d'idées de pistes?? merci d'avance
c'est juste que dans l'énoncé il manque un mot !!!!
c'est MONTRER que la fonction est croissante !!!
sinon on a une absurdité dans l'énoncé !!!
"On fait la supposition qu'il existe un nombre j appartenant à ]a;b[ tel que f(j) inférieur ou égal à f(a)"
si f est croissante : a<j f(a)<f(j)=<f(a) donc f(a)<f(a) ....
ce que l'on souhaite c'est supposer l'éxistence d'un tel nombre j et grace et uniquement grace à l'hypothese f'(x)>0 te faire montrer que c'est absurde ainsi on aura :
pour tout j de ]a,b[ f(a)<f(x)
malheureusement l'énoncé est bien ainsi! de toute façon, même si on n'utilise pas que la fct est croissante pour répondre à la première question, comment faire alors??
a) f'(x)>0 ....
b) (il est préciser "en déduire" donc b doit se déduire "facilement" du a) sans rien utiliser )
en effet :
récapitulons :
ya un j dans ]a,b[ donc a<j tq f(j)<=f(a)
et si on prend un x tq a<x<k<j on a f(x)<f(k)<f(j)
donc a<x<j et f(x)<f(j)<=f(a)
soit (An) une suite de ]a,k[ qui tend vers a An = a + (k-a)/2n
f(An) ---> f(a) f(An)<f(k) donc en passant a la limite f(a)<=f(k) ( attention la limite ne conserve pa la stricte inégalité) donc f(a)<=f(k)<f(j)<=f(a) et donc f(a)<f(a) voila qui est absurde !
merci pour cette réponse, mais j'ai encore des questions :
pour le a) je suis sencée mettre quoi après les petits points? dérivée positive donc fct croissante?? mais c'est justement ce qu'on cherche à démontrer??
pour le b) ok, je vois le raisonnement, ça me parait bien tiré par les cheveux qd même pour un exercice de terminal... mais si on arrive bien à une absurdité, on n'a pas démontré précisément la contradiction avec la continuité non?
b) si pke je l'ai utilisé
f continue en a => f(lim x=a) = lim f(x) quand x tend vers a
et je lutilise la : "f(An) ---> f(a)"
a) ah beh non faut utiliser la définition de f'(x) !
On fait la supposition qu'il existe un nombre j appartenant à ]a;b[ tel que f(j) inférieur ou égal à f(a)
On pose k tel que a<k<j
a<x<k
Posons T(x,y)= (le taux d'accroissement
)
f(x)<f(k) <=> f(x)-f(k)<0 <=>>0 (ceci car x<k)
or k€ ]a,b[ donc f'(k)>0 et on a donc T(x,k)>0
en effet : supposons T(x,k)<=0 ceci pour tout x de ]a,k[ alors en passant a la limite quand x tend vers k on a f'(k)<=0 ce qui est absurde car justement f'(k)>0 fin démo
ainsi en remontant T(x,k)>0 => f(x)-f(k)<0 => f(x)<f(k)
f(k)<f(j) se fait de facon similaire et on a bien démontré que f(x)<f(k)<f(j) sans utiliser la croissance heuresement puisque c'est ce que l'on veut démontrer !!!
Mais il est vrai qu'en terminale c'est un exercice étrange !
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :