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Niveau terminale
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Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variation

Posté par lilinani (invité) 17-10-06 à 16:16

Voilà un exercice (enfin la première partie seulement) sur lequel je bloque vraiment. Le but final est de démontrer que si une dérivée est positive, la fonction est croissante et inversement.

Soit une fct définie sur [a;b], continue et dérivable sur ]a;b[
On pose f'(x)>0 sur ]a;b[
la fonction est croissante sur ]a;b[

1 - On fait la supposition qu'il existe un nombre j appartenant à ]a;b[ tel que f(j) inférieur ou égal à f(a)
On pose k tel que  a<k<j
a) montrer que si a<x<k alors on a f(x)<f(k)<f(j)
b) en déduire la contradiction avec le fait que la fonction soit continue en a
c) de a) et b) , déduire que si a<x<b alors f(a)<f(x)

Voilà!
pour l'instant j'ai fait la a)en utilisant le fait que la fonction soit croissante : on a a<x<k<j  donc comme la fct est croissante, f(a)<f(x)<f(k)<f(j)

pour la b), j'ai essayer d'utiliser que f'(x) = (f(x)-f(x0))/ (x-x0) mais je sèche...
merci d'avance!

Posté par kamel (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 17-10-06 à 18:32

Bonjour
je pense que tu dois pas utiliser le fait que la fonction est croissante car but de l'excercice est de démontrer la fonction est croissante dit moi si je me trompe

Posté par lilinani (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 17-10-06 à 21:16

justement, c'est là que l'énoncé manque de clarté, car le but est bien de démontrer que la fct est croissante, mais c'est aussi clairement indiqué dans l'énoncé.... en fait je suppose qu'il faut démontrer par l'absurde que l'inverse n'est pas possible, mais alors quand faut-il utiliser les hypothèses qui sont vraies, et celles qui sont fausses (comme f(j)<f(a))??

Posté par lilinani (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 17-10-06 à 21:17

en tout cas, merci beaucoup de te pencher sur ce problème

Posté par lilinani (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 18-10-06 à 12:13



un pitit up, je sais qu'il est dur, mais personne n'a d'idées de pistes?? merci d'avance

Posté par jiju33 (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 18-10-06 à 12:21

c'est juste que dans l'énoncé il manque un mot !!!!

c'est MONTRER que la fonction est croissante !!!

sinon on a une absurdité dans l'énoncé !!!

"On fait la supposition qu'il existe un nombre j appartenant à ]a;b[ tel que f(j) inférieur ou égal à f(a)"

si f est croissante : a<j f(a)<f(j)=<f(a) donc f(a)<f(a) ....

ce que l'on souhaite c'est supposer l'éxistence d'un tel nombre j et grace et uniquement grace à l'hypothese f'(x)>0 te faire montrer que c'est absurde ainsi on aura :

pour tout j de ]a,b[ f(a)<f(x)

Posté par lilinani (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 18-10-06 à 12:35

malheureusement l'énoncé est bien ainsi! de toute façon, même si on n'utilise pas que la fct est croissante pour répondre à la première question, comment faire alors??

Posté par jiju33 (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 18-10-06 à 14:00

a) f'(x)>0 ....

b) (il est préciser "en déduire" donc b doit se déduire "facilement" du a) sans rien utiliser )
en effet :

récapitulons :

ya un j dans ]a,b[ donc a<j tq f(j)<=f(a)
et si on prend un x tq a<x<k<j on a f(x)<f(k)<f(j)

donc a<x<j et f(x)<f(j)<=f(a)

soit (An) une suite de ]a,k[ qui tend vers a An = a + (k-a)/2n

f(An) ---> f(a) f(An)<f(k) donc en passant a la limite f(a)<=f(k) ( attention la limite ne conserve pa la stricte inégalité) donc f(a)<=f(k)<f(j)<=f(a) et donc f(a)<f(a) voila qui est absurde !

Posté par lilinani (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 18-10-06 à 14:11

merci pour cette réponse, mais j'ai encore des questions :

pour le a) je suis sencée mettre quoi après les petits points? dérivée positive donc fct croissante?? mais c'est justement ce qu'on cherche à démontrer??

pour le b) ok, je vois le raisonnement, ça me parait bien  tiré par les cheveux qd même pour un exercice de terminal... mais si on arrive bien à une absurdité, on n'a pas démontré précisément la contradiction avec la continuité non?

Posté par jiju33 (invité)re : Démonstration du lien entre signe dérivée et sens de variat 18-10-06 à 17:35

b) si pke je l'ai utilisé

f continue en a => f(lim x=a) = lim f(x) quand x tend vers a
et je lutilise la : "f(An) ---> f(a)"

a) ah beh non faut utiliser la définition de f'(x) !

On fait la supposition qu'il existe un nombre j appartenant à ]a;b[ tel que f(j) inférieur ou égal à f(a)
On pose k tel que  a<k<j
a<x<k

Posons T(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} (le taux d'accroissement \lim_{x\to y} T=f'(y))

f(x)<f(k)  <=> f(x)-f(k)<0 <=>\frac{f(x)-f(k)}{x-k}>0 (ceci car x<k)
                          
or k€ ]a,b[ donc f'(k)>0 et on a donc T(x,k)>0

en effet : supposons T(x,k)<=0 ceci pour tout x de ]a,k[ alors en passant a la limite quand x tend vers k on a f'(k)<=0 ce qui est absurde car justement f'(k)>0 fin démo

ainsi en remontant T(x,k)>0 => f(x)-f(k)<0 => f(x)<f(k)

f(k)<f(j) se fait de facon similaire et on a bien démontré que f(x)<f(k)<f(j) sans utiliser la croissance heuresement puisque c'est ce que l'on veut démontrer !!!

Mais il est vrai qu'en terminale c'est un exercice étrange !



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