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Démonstration du théorème de Bezout
Bonsoir !
Alors que je revoyais mon cours et plus précisément la démonstration du théorème de Bezout, je suis tombé sur quelque chose que je n'arrive malheureusement pas à comprendre. 
Le théorème est le suivant : Soit a et b deux entier non nuls, a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u et v 
tels que au+bv=1.
On peut donc le démontrer en partant de l'hypothèse que a et b sont premiers entre eux. Pour cela, mon professeur a inventé E l'ensemble des entiers de la forme 
a+
b avec et .
Il a ensuite écris que E ne contient que des entiers strictement positifs. Et c'est là que ça bloque, je ne comprends pas pourquoi les entiers contenus dans E ne peuvents être que positifs... 
J'espère que quelqu'un aura une explication, merci d'avance. 
Supposons qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Soit D le PGCD de a et b, alors D divise a et D divise b, donc D divise au + bv . Donc D divise 1. Donc D = 1.
On en déduit alors que a et b sont premiers entre eux.
• Supposons que a et b sont premiers entre eux.
Considérons l'ensemble E des entiers naturels non nuls de la forme au + bv avec u ∈ ZZ et v ∈ ZZ .
E n'est pas vide (E contient a ou -a, E contient b ou -b, E contient 2a + 3b ou -2a - 3b ...), donc E a un plus petit élément m.
On peut écrire m = au1 + bv1 avec u1 ∈ ZZ et v1 ∈ ZZ .
Écrivons la division euclidienne de a par m : a = mq + r avec r ∈ IN et 0 ≤ r < m .
On a alors : a = (au1 + bv1) q + r ⇒ r = a - (au1 + bv1)q ⇒ r = a (1 - u1 q) + b (-v1 q)
Donc r est un entier naturel de la forme au + bv avec u ∈ ZZ et v ∈ ZZ et d'autre part r < m.
Comme m est le plus petit élément de E, on en déduit que r = 0, c'est-à-dire que a est divisible par m.
De même on démontrerait que b est divisible par m.
Donc m est un diviseur commun à a et b.
Comme a et b sont premiers entre eux, on en déduit que m = 1.
On a donc 1 = au1 + bv1 avec u1 ∈ ZZ et v1 ∈ ZZ .
Remarque : Le théorème de Bézout est particulièrement intéressant pour
C'est bien la démonstration que j'ai dans mon cours, mais il y a toujours cette petite phrase que je ne comprends pas :
Considérons l'ensemble E des entiers naturels non nuls de la forme au + bv avec u ∈ ZZ et v ∈ ZZ .
Pourquoi E n'est composé que d'entiers naturels non nuls ?
De plus, si j'ai bien compris, puisque r=0, r
E c'est bien ça ?
PS:Il semblerait que ton message ait été coupé sur la fin.
J'ai simplement fait un copié-collé sur Internet
E est composée d'entiers NATURELS NON NULS parce qu'on le définit comme ça
si on considère l'ensemble F des nombres de la forme au+bv avec u€et v€
F est est un sous ensemble de
dans ce sous ensemble on ne considère que l'ensemble des entiers naturels non nuls et on l'appelle E
F contient a (u=1 et v=0) et -a (u=-1 et v=0) or un des deux nombres a ou -a est un entier naturel non nul
(a si a>0 -a si a<0) par suite E n'est pas vide......tu peux lire ensuite le reste de la démonstration
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