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Niveau Maths sup
démonstration infinitude nombres premiers
Posté par robby3
Bonsoir tout le monde
que pensez-vous de cette démo sur l'infinitude des nombres premiers?
Supposons que avec
alors si l'on considère
on a
avec
l'indicatrice d'Euler.
Or contradiction d'ou
est infini.
Elle est très bizarre. Explique mieux ta derniere ligne, je ne crois pas que ce soit trivial.
Plus simple : prends p1...pN premier.
Essaye de construire un autre nombre premier plus grand au lieu de t'embêter avec une fonction aussi compliquée que l'indicatrice d'euler.
Citation :
Explique mieux ta derniere ligne, je ne crois pas que ce soit trivial.
Explique mieux ta derniere ligne, je ne crois pas que ce soit trivial.
et
quant au fait que
non?
Citation :
prends p1...pN premier.
Essaye de construire un autre nombre premier plus grand
prends p1...pN premier.
Essaye de construire un autre nombre premier plus grand
je connais cette preuve,mais je ne l'a trouve pas "naturelle", c'est une astuce de considérer le produit des pi+1...
Ok, c'est bon.
Donc ta preuve est juste (en fait je ne connaissais pas l'indicatrice d'euler et donc meme des résultats triviaux me semblent compliqués ).
Sinon tu considères n+1 : aucun entier premier ne le divise donc il est premier donc c'est absurde.
je reviens à la démonstration de Dryss:
je considère , on a donc
et
donc tel que
divise
, or le reste de la division euclidienne de
par
est
et on conclut en disant que ...je ne vois pas comment est-on sûr que
...pourquoi
ne serait-il pas l'un des
?
Bonjour
Robby : dans ton premier post, je doute que l'indicatrice d'euler du nombre n que tu considères soit égale à 1 ...
si maintenant on revient au nombre n que Drysse te propose...
comme il n'est pas premier, un certain nombre q le divise...ok
et q se décompose en facteur premiers
donc un certain pi divise q... et donc n
vu la tête de n, cela entraine que pi divise 1
d'où l'absurdité
et donc n est premier
et donc l'hypothèse de finitude est absurde
et pis c'est tout !
MM
Bonjour MatheuxMatou,
tout entier plus petit que n est produit de puissance des nombres premiers de mon ensemble donc a toujours un facteur commun avec
,donc y'a un seul nombre plus petit que
et premier avec
,c'est 1
non?
Citation :
et q se décompose en facteur premiers
et q se décompose en facteur premiers
oui,le souci c'est que je met dans ma leçon ce théorème de l'infinitude des nombres premiers avant de savoir que tout entier se décompose en produit de facteurs premiers...
d'accord, je n'avais pas vu cela ainsi... tu as raison !
mais c'est une façon bien sophistiquée de voir les choses.
finalement ton raisonnement rejoint le notre... mais plus difficile à justifier.
Citation :
avant de savoir que tout entier se décompose en produit de facteurs premiers..
avant de savoir que tout entier se décompose en produit de facteurs premiers..
ben tu rigoles... tu l'utilises toi-même dans ta méthode ! :
Citation :
tout entier plus petit que n est produit de puissance des nombres premiers de mon ensemble P
tout entier plus petit que n est produit de puissance des nombres premiers de mon ensemble P
c'est justement pour cela que je reviens pour voir la démo de Dryss,afin de voir si lui-même utiliser cette propriété...
je pensais qu'avec sa démo, on utilisait pas cette propriété...ce qui me permettait de mettre le théorème sur l'infinitude des nombres premiers avant la décomposition des entiers en produits de facteurs premiers...
je reprend ta démo:
Citation :
si maintenant on revient au nombre n que Drysse te propose...
comme il n'est pas premier, un certain nombre q le divise...ok
et q se décompose en facteur premiers
donc un certain pi divise q... et donc n
vu la tête de n, cela entraine que pi divise 1
d'où l'absurdité
et donc n est premier
et donc l'hypothèse de finitude est absurde
si maintenant on revient au nombre n que Drysse te propose...
comme il n'est pas premier, un certain nombre q le divise...ok
et q se décompose en facteur premiers
donc un certain pi divise q... et donc n
vu la tête de n, cela entraine que pi divise 1
d'où l'absurdité
et donc n est premier
et donc l'hypothèse de finitude est absurde
q est un premier qui divise n,donc
non?
bah si, tout entier admet au moins un diviseur premier(théorème d'Euclide)...donc n en admet au moins un,je dis que c'est q...
ah ben si tu a ce théorème (qui, je ne voudrais pas dire, mais est un peu équivalent à l'existence d'une décomposition en facteurs premiers !!!
) alors oui, passe directement à "il existe un diviseur premier de n... qui est un des pi"... plus besoin de q.
MM
je reprend la démo pour voir si c'est bon:
on veut montrer que \mathbb{P} est infini.
Supposons par l'absurde que
on considère alors un entier
on a donc et
par le théorème d'Euclide, possède au moins un diviseur premier qui est l'un des
donc ce et
donc
divise
absurde.
Donc est infini.
ok?
cela me parait très bien
(en précisant toutefois que tes pi sont rangés par ordre croissant afin de bien justifier que n n'est pas dans P car il est supérieur au dernier...
MM
Bonjour
Citation :
Pour la petite histoire cette preuve avait été trouve des l'antiquité , par euler je crois
Pour la petite histoire cette preuve avait été trouve des l'antiquité , par euler je crois
Euler:
Citation :
Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783
Leonhard Paul Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783
antiquité
Citation :
La majorité des historiens estime que l'Antiquité y commence au IVe millénaire av. J.-C. (-3500, -3000) avec l'invention de l'écriture en Mésopotamie et en Égypte, et voit sa fin durant les grandes migrations eurasiennes autour du Ve siècle (300 à 600). La date symbolique est relative à une civilisation ou une nation, la déposition du dernier empereur romain d'Occident en 476 est un repère conventionnel pour l'Europe occidentale
La majorité des historiens estime que l'Antiquité y commence au IVe millénaire av. J.-C. (-3500, -3000) avec l'invention de l'écriture en Mésopotamie et en Égypte, et voit sa fin durant les grandes migrations eurasiennes autour du Ve siècle (300 à 600). La date symbolique est relative à une civilisation ou une nation, la déposition du dernier empereur romain d'Occident en 476 est un repère conventionnel pour l'Europe occidentale
Maths: TB
Histoire: pas terrible!
Robby,ne mets pas Euler dans l'Antiquité à l'oral du Capès, ça indisposera ton jury!
Citation :
C'est la preuve d'Euclide, et non d'Euler
C'est la preuve d'Euclide, et non d'Euler
celle ou j'utilise le théorème d'Euclide,ça semblerait naturel que cette preuve soit due à Euclide...donc Antiquité non!?
bref,Euler on sait que c'est 18eme siècle...donc une preuve aussi "simple" ne peut-être d'Euler
Oui, Euclide a donné cette preuve dans ses Eléments durant l'Antiquité, l'apparition d'Euler dans le message de Dryss est sans doute un lapsus. 
oui, pour autant que je me souvienne, c'est Euclide.
A l'époque d'Euler, cela faisait longtemps qu'on maniait les nombres premiers.