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démonstration limite infinie à droite en a

Posté par
npo 03-02-21 à 11:34

Bonjour,

Je suis en reprise d'étude et pour me donner les meilleurs chances, j'ai décidé de rattraper mes cours de maths depuis le lycée. Je suis actuellement dans le cours de terminal (j'utilise une série de livre je sais pas si je peux les citer), et je souhaiterai savoir si ma démonstration est juste.

Énoncé de l'exercice :
En utilisant les définitions, démontrer que :
\lim_{x\to 4^+} \dfrac{1}{8-2x} = -\infty

Travail préliminaire :
Pour tout M<0, on cherche un A tel que si 4<x<A on a \dfrac{1}{8-2x} < M.
Je vous passe le détail du travail préliminaire car le résultat correspond à la correction.
\dfrac{1}{8-2x} < M \iff x < -\dfrac{1}{2M}+4.

Preuve
Soit M<0, on choisit A = -\dfrac{1}{2M} + 4,
Alors pour tout x tel que 4<x<A
On a f(x)<f(A)
\dfrac{1}{8-2x} < \dfrac{1}{8-2\left(-\dfrac{1}{2M} + 4\right)} = \dfrac{1}{8-\dfrac{1}{M} + 8} = M

Par la définition de la limite infinie à droite en a, on en conclue que
\lim_{x\to 4^+} \dfrac{1}{8-2x} = -\infty

Mes questions sont donc
1/ ma réponse est elle juste (c'est à dire est ce que ma preuve est juste)
2/ si c'est le cas, j'ai le sentiment que f(x)<f(A) provient de l'exterieur de la preuve (de la définition et du travail préliminaire) mais n'est pas "justifié" à l'intérieur de la preuve, est ce donc une erreur ?

Merci

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 11:42

une relecture de suffit pas, il y a une erreur d'algèbre:

\dfrac{1}{8-2x} < \dfrac{1}{8-2\left(-\dfrac{1}{2M}+4\right)} = \dfrac{1}{8+\dfrac{1}{M}-8} =M

ca ne change pas mes questions.

Veuillez pardonner l'erreur.

Posté par
matheuxmatoure : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 11:54

bonjour

sans autre considération, les opération élémentaires sur les inégalités permettent de prouver que pour 4<x<A entraîne f(x)<f(A)

Posté par
matheuxmatoure : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 11:54

*opérationS

Posté par
matheuxmatoure : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 11:56

cela dit, je ne crois pas que ce genre de démonstration revenant au définition epsilontiques des limites soit encore traité en terminale...

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 11:59

effectivement, apres votre message ma deuxième question est trivial, de plus f(x) est croissante sur ]4,+\infty[,
Merci

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 12:01

Ah! j'ai acheté ces livres l'an passé, la date d'édition est 2017, je m'étais dit que c'était ce qui était au programme du coup, merci pour la précision.

Posté par
matheuxmatoure : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 12:08

alors cela y est peut-être revenu ... mais peu importe, pour une reprise d'étude, c'est bien de travailler cela.

ta démonstration me semble correcte.

personnellement, pour simplifier la démo, je procèderais en me ramenant à une fonction plus simple :

f(x) = (-1/2)  h(x-4)

avec h la fonction inverse

au niveau des inégalités, il est plus simple de montrer que h tend vers + en 0+

et x4+ équivant à (x-4)0+

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 12:37

je te remercie pour toutes tes réponses et ton aide.
Bonne journée

Posté par
matheuxmatoure : démonstration limite infinie à droite en a 03-02-21 à 13:26

pas de quoi

bonne journée

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 04-02-21 à 09:58

Bonjour,
Dans ma recherche de plus de rigeur, j'ai fait des recherches sur le mot que vous avez utilisé pour décrire cette démonstration ("définition epsilontiques"), et en me rapprochant de ton dernier message, j'ai changer ma démonstration, en esperant que ca soit plus propre et rigoureux,
Merci encore pour toutes ces explications et pistes.

Soit \epsilon < 0, on cherche \delta < 0 tel que \delta < 8-2x<0.

\dfrac{1}{8-2x} < \epsilon \iff 8-2x > \dfrac{1}{\epsilon}

Preuve :
Soit \epsilon<0, on choisit \delta = \dfrac{1}{\epsilon}
Supposons \delta<8-2x<0
Alors \dfrac{1}{8-2x} < \dfrac{1}{\delta} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{\epsilon}} = \epsilon

Posté par
carpediemre : démonstration limite infinie à droite en a 04-02-21 à 10:09

salut

bof pour le msg de 9h58 ...

Citation :
En utilisant les définitions, démontrer que : \lim_{x\to 4^+} \dfrac{1}{8-2x} = -\infty

Travail préliminaire : ce n'est pas le travail préliminaire c'est le travail à faire !!!
Pour tout M<0, on cherche un A tel que si 4<x<A on a \dfrac{1}{8-2x} < M.


dans toute la suite on suppose donc x > 4 donc 8 - 2x < 0

\dfrac 1 {8 - 2x} < M \iff_{ \red (1)} 8 - 2x > \dfrac 1 M \iff 2x < 8 - \dfrac 1 M \iff x < 4 -\dfrac 1 {2M}

(1) : car la fonctions inverses est décroissante sur ]0, +oo[

donc A = 4 - \dfrac 1 {2M}

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 04-02-21 à 10:10

rigueur ... le mot que tu as utilisé ... j'ai changé la démonstration.

Je doit faire preuve de plus de rigueur en français aussi.

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 04-02-21 à 10:13

Merci carpediem pour le retour, effectivement, j'ai retiré "travail préliminaire" dans ma dernière preuve,

oh oui ok, je dois justifier le changement d'ordre, je le pensais trivial.

Merci

Posté par
npore : démonstration limite infinie à droite en a 04-02-21 à 10:50

j'ai répondu plus vite que je n'ai lu,

Je crois comprendre, faire plus court n'est pas plus rigoureux, soit j'explicite la composition de fonction comme la dit matheuxmatou soit je garde mon raisonnement initial, mais je ne fais pas un entre deux, ce n'est pas rigoureux, c'est bien ca ?

Puis si je garde mon raisonnement initial je détail et justifie les calculs. et je n'oublie pas d'écrire ce que je cherche à trouver/montrer en concluant (donc A= ...) et pareil pour la conclusion de la preuve je suppose.

Très bien, merci carpediem.

Posté par
carpediemre : démonstration limite infinie à droite en a 04-02-21 à 11:26

dans un cas aussi simple parler explicitement de composée n'est pas nécessaire ...

je les manipule en résolvant l'équation mais sans le dire (je l'ai invoqué cependant en parlant de l'ordre et de la fonction inverse)

j'aurai pu aussi le préciser avec la fonction x --> 8 - 2x ...

mais bof je résous cela comme au collège ... en appliquant proprement les règles sur les inégalités qui en sont la conséquence

...


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