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Niveau Licence Maths 1e ann
Démonstration nombres premiers
Posté par Meiosis
Bonjour,
Je poste dans la section supérieur car il me semble que le problème est assez costaud.
C'est une propriété concernant les nombres premiers jumeaux que j'ai découverte mais je ne sais pas la démontrer. J'ai commencé à reformuler le problème et à tester mon échantillon.
Voici le problème.
---
Soit (p1;p2) un couple de nombres premiers jumeaux tels que p2=2+p1 et p1 > 29.
Le reste de la division euclidienne de par p1 donne une fraction que l'on simplifie de la forme
avec a et b deux entiers naturels. Et a-1 est divisible par p2*10+1.
Par exemple avec p1=41 et p2=43 on a le reste de la division euclidienne de par 41 qui vaut
. Or 1294-1=1293=3*431.
Donc 1293 est bien divisible par 43*10+1.
On notera que p2*10+1 peut être soit premier lui-même comme c'est le cas ici avec 431 soit décomposable.
Maintenant tentons une reformulation du problème.
On pose . N est premier avec p2 car p2 est impair. En notant q le quotient de N par p1 et r le reste, on calcule P=(q modulo p1)*p2+r-1
La conjecture est que P est un multiple de p2*10+1 si p1>29.
Ainsi j'ai pu remarquer que les seules exceptions étaient les couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à (41;43), j'ai testé ma conjecture sur les 100 000 premiers nombres premiers jumeaux et elle est valide à chaque fois à partir de p1>29.
---
Je vous soumets le problème, peut-être que quelqu'un pourra m'aider à la démontrer.
Merci.
Pour éviter les indices qui alourdissent les formules inutilement, je vais noter et
deux nombres premiers jumeaux, tels que
On pose
Ensuite, tu poses =le quotient de
par
, et
le reste
Puis
On est bien d'accord que et
, c'est le même nombre ?
ty59847 @ 11-03-2022 à 15:54
Pour éviter les indices qui alourdissent les formules inutilement, je vais noter
et 
deux nombres premiers jumeaux, tels que 
On pose
Ensuite, tu poses
=le quotient de 
par , et 
le reste
Puis *b + r -1)
On est bien d'accord que)
et , c'est le même nombre ?
Pour éviter les indices qui alourdissent les formules inutilement, je vais noter
On pose
Ensuite, tu poses
Puis
On est bien d'accord que
Merci pour ta réponse.
Je m'aperçois d'une légère erreur d'inattention, c'est en fait
Et non ce n'est pas le même nombre.
Prenons toujours a=41 et b=43.
On a
On a
Il vient
Et
Or 1293 est bien un multiple de 43*10+1 =431.
Bonjour,
la démonstration se fait rapidement avec le petit théorème de Fermat.
donc
(je suppose
).
donne
puis
.
Enfin .
On traite à part les cas où .
jandri @ 11-03-2022 à 17:21
Bonjour,
la démonstration se fait rapidement avec le petit théorème de Fermat.
donc 
(je suppose 
).
q+64)
donne 
puis 
.
Enfin)
.
On traite à part les cas où
.
Bonjour,
la démonstration se fait rapidement avec le petit théorème de Fermat.
Enfin
On traite à part les cas où
Merci pour votre réponse qui met fin au problème.