Bonjour,

Le principe d'un raisonnement par récurrence se bâtit de la façon suivante.

1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1   (l'initialisation)

2°)- On suppose que "ça marche" pour le rang n=p et on pose l'hypothèse de récurrence avec n=p  

3°)- On montre que "ça marche" pour le rang supérieur, soit pour le rang n=p+1  (ce qui prouve l'hérédité)

4°)- On conclut

  ?

ah mais ça j'ai compris, mais c'est au moment de l'hérédité je ne vois pas quels calculs faire :/

Répond à ma question :   ?

Et pour le reste si tu as compris, tu dois être capable de le faire donc.

il y a juste un truc que me surprend dans votre commentaire pourquoi le rang n=p+ 1 et pas tout simplement le rang n+1 ( c'est comme ça qu'on m'a appris )

oui, il me semble que oui

Mais en fait c'est juste la partie hérédité que je n'arrive pas, et plusprécisément, faire n+1 pour le calcul avec le sigma est ce que je dois faire :

(k+n+1)* (k+n+1) !  ?

En fait je ne vois pas où mettre le n+1 pour le second calculs, ni comment le faire apparaitre et peu importe ce que je fais je ne trouve jamais le même résultat que pour Sn+1 = (n+ 1 ) ! -1

oups je voulais dire Sn+1 = (n+2)! - 1

La bonne démarche est :

On suppose que Sn = (n+1)! - 1=sigma pour k allant de 1 à n k * (k ! )   est vraie

et on veut montrer que Sn+1 = (n+1+1)! -1 sigma pour k allant de 1 à (n+1) k * (k ! )  

La bonne démarche est :

On suppose que Sn = (n+1)! - 1=sigma pour k allant de 1 à n k * (k ! )   est vraie

et on veut montrer que Sn+1 = (n+1+1)! -1 = sigma pour k allant de 1 à (n+1) k * (k ! )  

en fait, en gros c'était :

On suppose que P(n) est vraie
Et on veut montrer que P(n+1) est vraie

Mais ce que vous dites est en gros ce que je veux faire :

J'ai d'abord calculé Sn+1 = (n+1+1)! -1
                                                        = (n+2 )! -1

et après il je veux calculé sigma pour k allant de 1 à n  pour montrer que les 2 sont égaux, et c'est là que je bloque, peu importe les calculs que je fais je ne tombe jamais sur (n+2) ! - 1, alors peut que déjà ce calcul là n'est pas bon

et sinon, merci de me l'avoir fait remarquer je vais corriger ça

mais en fait si je mets Sn= (n+1)! -1 = calcul avec sigma, je me répète vu que Sn = le calcul avec sigma ?

Bonsoir,
J'ai l'impression que tes difficultés viennent d'une mauvaise lecture de l'énoncé.

Pour n entier supérieur ou égal à 1
Démontrer que S_n = (n+1)! - 1 .

Ce que tu sais :

Tu n'as jamais répondu aux questions deJedoniezh qui voulait te faire écrire n 1 .

Tu cherches à démontrer l'égalité S_n = (n+1)! - 1 pour tout n de * .

Tu as vérifié que l'égalité S_n = (n+1)! - 1 est vraie pour n = 1 .

Tu veux démontrer que si S_n = (n+1)! - 1 pour un n de * , alors S_n+1 = (n+2)! - 1

Pour y arriver, tu dois commencer par chercher une relation entre S_n+1 et S_n .
Si tu ne vois pas, écris S_n puis S_n+1 avec des pointillés au lieu du symbole .

bah pour passer de sn à Sn+1 à part ajouter 1 je ne vois pas le lien entre les 2 :/ et j'ai déjà fait le reste après si ça peut vous aider je peux l'exercie entier et ce que j'ai fait car là ce n'est qu'une partie :


On appelle factorielle n, et on note n!, le nombre égal au produit des n premiers entiers naturels non nuls avec n supérieur ou égal à 1.
On a donc n! = 1*2*...*n

1) Calculer 1! , 2! , 3!

1! = 1 *1 = 1
2! = 1*2 = 2
3! = 1*2*3 = 6

2) On pose pour n supérieur ou égal à 1 :

Sn = sigma pour k allant de 1 à n k * (k!)

a) Ecrire S1, S2 et S3 sans le symbole sigma et les calculer.


S1 = 1(1*1!) = 1
S2 = 2(1*2!) = 4
S3 = 3(1*2*3!) = 18

b) Montrer par récurrence que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a

Sn = (n+1)! - 1

et ça c'est ce que je vous ai écrit avant

La situation se clarifie : Tu n'as pas compris ce qu'est S_n , ou plutôt le symbole .
est la somme de 3 termes.

Pour k = 1 , le terme 11!
Pour k = 2 , le terme 22!
Pour k = 3 , le terme 33!

S₃ = 11! + 22! + 33!

Tu peux aussi remarquer que tes résultats pour S₂ et S₃ ne vérifient pas la formule qu'on te demande de démontrer, Sn = (n+1 ) ! - 1 .
Par contre 1+4 = 3! - 1 et 1+4+18 = 4! - 1

Attention aussi au ! superflu dans 3(1*2*3!) .

Une prochaine fois, poste l'énoncé en entier, premières questions comprises

ducoup :

S1 = 1 * (1*1) = 1
S2 = 2 * ( 2!) mais le factorielle de 2! c'est (1) *2 ? donc S2 = 2 * 2 = 4
et le factorielle de 3! = (1) *2*3 =6 ? Donc S3 = 3*6 = 18  

Le sigma c'est une somme
Le factorielle c'est le produit des n premiers entiers naturels non nuls donc  n! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*...*n

La suite Sn c'est la somme des n premiers produits factorielles ? Mais dans l'énoncé on a un fois ?

Donc si je remplace k par 1, ça donne ça :

Sn = sigma allant de 1 à n k* (k!) = 1* (1!) = 1 *(1*1) = 1*1 = 1
( je développe beaucoup volontairement même si ce n'est utile )

Mais donc ducoup Sn= k* (1!) + k * (2 !) +...+ k * (n! ) , c'est ça ?
Mais (n ! ) = 1 * 2 * ... *n  ? mais comment je fais pour faire un calcul  avec ça  ? ça peut pas être ça ? .....

Sinon Sn+1 = k * (1 !) + k * (2 !) + ... +k * (n!) + k * (n+1!) ?

Je suis complètement perdue .....

" La suite Sn c'est la somme des n premiers produits factorielles ? "
Non, S_n est la somme des k(k!) pour k de 1 à n .
Avec des pointillés : S_n = 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + 4(4!) + ... + n(n!)

Recalcule
S₂ = 1(1!) + 2(2!) = ....
S₃ = 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) = ....

Comment calculer S₄ en utilisant le résultat de S₃ ?

S4 = 1*(1!) + 2*(2!) +3 * (3!) + 4*(4 !)
       = 1 + 4 + 3*(1*2*3) + 4*(1*2*3*4)
       = 5 + 18 + 96
       = 129

c'est ça ?
Mais bon je ne suis toujours pas sûre de comprendre :/ c'est quoi k ? est-ce qu'on peut les remplacer par n ?

est-ce qu'on peut dire que :

Sn = sigma pour k allant de 1 à n k * (k!) = sigma pour k allant de 1 à n    n * (n!)  ???

Je ne vais plus être disponible avant la fin d'après midi.

ah mince :/

On reprend, on a :



1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1   (l'initialisation)



La relation est donc vérifiée au premier rang.


2°)- On suppose que "ça marche" pour le rang n et on pose l'hypothèse de récurrence  




3°)- On montre que "ça marche" pour le rang supérieur, soit pour le rang n=p+1  (ce qui prouve l'hérédité)

Au rang , on a donc :



CQFD


4°)- On conclut

Donc :

On reprend, on a :



1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1   (l'initialisation)



La relation est donc vérifiée au premier rang.


2°)- On suppose que "ça marche" pour le rang n et on pose l'hypothèse de récurrence  




3°)- On montre que "ça marche" pour le rang supérieur, soit pour le rang n=p+1  (ce qui prouve l'hérédité)

Au rang , on a donc :



CQFD


4°)- On conclut

Donc :

[tex]\f

Quand ça veut pas, ça veut pas, Grrrrrr .........

On reprend, on a :



1°)- On regarde si "ça marche" pour le premier rang, en général soit n=0, soit n=1   (l'initialisation)



La relation est donc vérifiée au premier rang.


2°)- On suppose que "ça marche" pour le rang n et on pose l'hypothèse de récurrence  




3°)- On montre que "ça marche" pour le rang supérieur, soit pour le rang n=p+1  (ce qui prouve l'hérédité)

Au rang , on a donc :



CQFD


4°)- On conclut

Donc :

Je suis de retour
@Jedoniezh,
Je trouve maladroit le "on a " du départ.

D'accord pour : On a .

Mais pas d'accord pour : On a , car c'est la conclusion, c'est ce qu'on veut démontrer.

@cajous2000,
Je reprends les calculs des premiers S_n , car si tu ne les comprends pas, tu ne peux pas comprendre le reste.
S₂ = 1(1!) + 2(2!) = 1 + 4 = 5
S₃ = 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) = 5 + 36 = 23
S₄ = 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + 4(4!) = 23 + 424 = 119

@Jedoniezh ah je crois que j'ai compris, en fait je n'ai pas supposer ( je n'ai donc pas l'hypothèse de récurrence ) que (n+1)! -1 = la calcul avec sigma

Donc ducoup je n'ai qu'à poser l'hypothèse de récurrence et ensuite je remplace le calcul avec le sigma, la somme uoi, par l'hypothèse de récurrence.

Je fais ça au brouillon et je regarde si je trouve bien la même chose

@Jedoniezh ah je crois que j'ai compris, en fait je n'ai pas supposer ( je n'ai donc pas l'hypothèse de récurrence ) que (n+1)! -1 = la calcul avec sigma

Donc ducoup je n'ai qu'à poser l'hypothèse de récurrence et ensuite je remplace le calcul avec le sigma, la somme uoi, par l'hypothèse de récurrence.

Je fais ça au brouillon et je regarde si je trouve bien la même chose

Sylvieg @ 24-09-2017 à 17:30

@cajous2000,
Je reprends les calculs des premiers  S_n , car si tu ne les comprends pas, tu ne peux pas comprendre le reste.
S₂  =  1(1!) + 2(2!)  =  1 + 4  =  5
S₃  =  1(1!) + 2(2!)  + 3(3!)  =  5 + 36 = 23
S₄  =  1(1!) + 2(2!)  + 3(3!) + 4(4!)  =  23 + 424  =  119

Oui, c'est bon.
Tu n'avais pas encore rencontré n! ?

Découvrir en même temps n! et n'est pas facile facile...

sigma je connaissais mais pas n!

J''ai encore un problème je n'arrive toujours pas à (n+2)! -1, je dois partir trop loin dans mes calculs .... @Jedonizeh je n'ai pas regardé vos calculs pour essayer de le faire moi-même

(n+1)! -1 + (n+1)(n+1)!
= (n+1)! -1 + n² + n + n + 1   ( mais je fais quoi de mon "!" ? je fais une parenthèse pour tout la partie développée ? )

= (n+1)! - 1 + n² + 2n +1
= (n+1)! + n(n+2)    mais là ducoup j'ai bien le "n+2" mais il me manque le -1 et j'ai des n en trop :/  

(n+1)! -1 + (n+1)(n+1)! ok ; mais je te conseille de mettre des parenthèses autour des factorielles après les
Comme tu l'as fait dans S3 = 1*(1!) + 2*(2!) + 3*(3!) .
(n+1)! -1 + (n+1)((n+1)!)
Tu essaye de trouver quelque chose de la forme XXX - 1 ; donc mets le -1 derrière :
(n+1)! -1 + (n+1)((n+1)!) = (n+1)! + (n+1)((n+1)!) - 1
Tu peux factoriser ce qui est avant le -1 par (n+1)! .

je t'avoue qu'après avoir changé de place au -1 je ne vois pas trop quoi faire d'autre et je ne veux pas recopier bêtement :/ même si le dm n'est pas noté :/

(n+1)! + (n+1)((n+1)!) - 1 est de la forme A + (n+1)A - 1 .

Sais-tu factoriser A + (n+1)A par A ?

A la limite, ce n'est même pas une factorisation, mais une réduction.

x + 2017 x = 2018 x A + 2017 A = 2018 A
x + (n+1) x = ......... x x + (n+1) A = .......... A

(n+1)! + (n+1)((n+1)!) = .......... ((n+1)!)

bon si je reviens à mon calcul

(n+1)!  + (n+1) * [(n+1)!] -1 = 2(n+1) * [(n+1)!] mais ducoup j'ai un produit factorielle qui a disparu
                                                            = (2n +2) * [(n+1)!]
                                                            = 2n² +2 + 2n +2  mais alors là je n'ai plus aucun produits factorielle , enfait il me bloque je ne sais pas ce que je peux faire avec, si quand je les développe il faut que je les mette après chaque chiffre du calcul développé ...

                                                           = n(2n +n) + 4 mais bon c'est pas du tout la même chose ...

(n+1)! + (n+1) * [(n+1)!] -1 = 2(n+1) * [(n+1)!] est faux. D'où vient le 2 ? où est passé le -1 ?
Garde ce -1 à la fin précieusement.

Si j'écris un cas numérique, sauras-tu mieux y arriver ?
9 ! + 99! - 1 . Essaye de trouver 10! - 1 .

oup *caché

Tu y es presque ! Mais tu as perdu le -1 à un moment :

(n+1)! + (n+1) [(n+1)!] = 1 ((n+1)!) + (n+1) [(n+1)!] = (n+2) [(n+1)!]

Donc (n+1)! + (n+1) [(n+1)!] - 1 = (n+2) [(n+1)!] - 1 .

Après il s'agit de voir que (n+2) [(n+1)!] = (n+2)! .

Je t'avais proposé :

Citation :
Si j'écris un cas numérique, sauras-tu mieux y arriver ?
9 ! + 99! - 1 . Essaye de trouver 10! - 1 .

ah je n'avais pasle calcul que tu m'avais proposé

Donc j'en étais là :

(n+1)! + (n+1)(n+1) ! -1 = ah bah ça y est en faitje vois maintenant

en fait on a 1*x et on 2*x donc en tout on a 3*x enfin là c'est un exemple

Dans mon cas :

on a 1* (n+1)! et une autre fois : 1*(n+1)! donc en tout on a 2*(n+1)! et on oublie pas le -1    !

Voilà, c'est bon j'ai compris ! merci

(n+1)! + (n+1) * (n+1)! -1 = 1* (n+1)! +(n+1) * (n+1 ) ! -1
                                                       =  1(n!) +1! + (n+1) * (n+1 ) ! -1
                                                       = 1(n!) +1 + n²! +1(n!) + 1(n!) +1! -1
                                                       = 3(n!) + n²!  + 1!

Bon ça ça va pas ...

(n+1)! + (n+1) * (n+1 ) ! -1 = (x)! + (y) * (x) ! -1
                                                          =  2y * (x) ! -1

                                                         1(n+1)! + (n+1 ) * (n+1)! -1
                                                     =  1 + (n+1) * (n+1) ! + (n+1)! -1
                                                    = 1 + (n + 1 ) * (n+2) ! -1
                                                        = bon bah là je suis encore bloquée en fait