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Démonstration par récurrence

Posté par
yannis231
11-09-21 à 23:23

Bonjour, je bloque sur un problème de démonstration par récurrence, la question est la suivante : Déterminez pour tout entier naturel n l'expression de u0+u1+…+Un en fonction de n, on sait que Un+1= 0,6Un+4,  U0= 5, Un = Vn +10, Vn= -5*0,6^n et que Un = 10-5*0,6n, pourriez vous m'aider s'il vous plaît ? J'ai essayé avec la formule de somme des termes d'une suite géométrique mais il faudrait la raison de Un, or il me semble que Un n'est pas une suite géométrique, cependant Vn en est une de la forme Vn= -5*0,6^n et de premier terme -5

Posté par
manu_du_40
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 00:59

Bonsoir.
Pour moi, pas besoin de récurrence dans cet exercice.

Tu sais que U_n=V_n+10
Donc U_0+U_1+\dots + U_n=(V_0+10)+(V_1+10)+\dots+(V_n+10).

Et là, en réorganisant judicieusement les termes de la somme et en utilisant le fait que (V_n) est suite géométrique, c'est gagné.

Manu

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 09:27

Bonjour yannis231
n'oublie pas de modifier le niveau dans ton profil.

Posté par
yannis231
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 18:04

D'accord merci mais (V0+10)+(V1+10)+...+(Vn+10) = U0 * (1-q^n)/(1-q) sauf que q c'est la raison de Vn et là on a Vn+10 je ne comprends pas comment réarranger les termes...

Posté par
manu_du_40
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 21:31

yannis231 @ 12-09-2021 à 18:04

D'accord merci mais (V0+10)+(V1+10)+...+(Vn+10) = U0 * (1-q^n)/(1-q) sauf que q c'est la raison de Vn et là on a Vn+10 je ne comprends pas comment réarranger les termes...


Ce que tu écris est faux puisque (u_n) n'est pas géométrique.
Regroupe les v_n ensemble puisque (v_n) est géométrique et la ta formule va fonctionner. Ensuite tu as les 10. Combien il y en a ?

Posté par
yannis231
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 21:35

je crois que je n'ai pas bien compris votre question... Il y a un seul Vn : Vn+10 ?

Posté par
manu_du_40
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 22:09

Je parlais de tous les termes de la suite (v_n) qui apparaissent dans la somme

(V_0+10)+(V_1+10)+\dots+(V_n+10)=(v_0+v_1+v_2+\dots+v_n)+(10+10+...+10)
Et maintenant, tu utilises le fait que (v_n) est géométrique

Posté par
yannis231
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 22:25

aaaaah d'accord donc (v0+v1+v2+v...+vn) +(10+10+...+10) = -5*(1-0.6^n)/(1-0.6) +(10+10+...+10 ) ? Et si c'est ça que faire des 10, car on ne sait pas combien il y en a ?

Posté par
manu_du_40
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 22:43

Si tu sais combien il y en a (du moins tu peux l'exprimer en fonction de n...)

Posté par
yannis231
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 22:55

(10+10+...+10)^n ?

Posté par
manu_du_40
re : Démonstration par récurrence 12-09-21 à 23:58

D'où sortirait cet exposant ?

10+10+10= 3 x 10
10+10+10+10=4 x 10

Combien de fois 10 est il écrit dans la somme que tu cherches à calculer ?

Posté par
yannis231
re : Démonstration par récurrence 13-09-21 à 00:06

Aaaaah d'accord merci beaucoup pour votre aide , donc la réponse est -5*(1-0,6^n)/(1-0,6) + 10n ?

Posté par
manu_du_40
re : Démonstration par récurrence 13-09-21 à 16:08

Re

petite erreur. 10 est (n+1) fois car la somme u0+u1+...+un comprend bien n+1 termes



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