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Démonstration par récurrence

Posté par
KylianMBAPPE
18-09-21 à 22:26

Bonjour j'aurais besoin de votre aide pour cette exo

1-Démontrer par récurrence que pour tout n3,  Unn,( indication , on justifiera que pour tout n3 , on a 5n-11n+1

2- Montrer que pour tout n3 , Un+1 - Un 4n-11 , en déduire le sens de variation de la suite (Un

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 18-09-21 à 22:29

Pour l'initialisation j'ai trouvé que c'était vrai pour n=3 puisque 5*3-11=4 et 3+1=4

Je suis bloqué pour la suite doit je faire 5(n+1)-11 n+2 ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 18-09-21 à 22:39

J'ai oublié de préciser au début que la suite Un , n appartient à N est définie par Uo= 7 et Un+1= 3Un+2n -11 , j'ai calculé d'ailleurs les premiers termes U1=10 U2=21 U3=56

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 18-09-21 à 22:49

Je rajoute également la 4 et la 5 question

4- On considère la suite Vn , n appartient à N , définie par Vn=Un+n-5
A) calculer Vo,V1 et V2
B) montrer  que Vn est géométrique et donner son premier terme et sa raison
C) exprimer Vn en fonction de n puis en déduire que pour tout n appartenant à N, Un= 2*3**n- n+5

5 ) pour tout entier appartenant à N on a Un= Vn+ Wn , montrer que pour tout n appartenant  a N :

k=n
Uk= 3**n+1 + (n(9-n))/2 + 4
k=0

Merci beaucoup de votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 07:54

Bonjour,
Pour l'hérédité, tu pars de
Supposons que pour un n de , avec \; n 3 , on ait \; un n .
Que peux-tu alors dire de \; 3un \; ?
Puis de \; 3un + 2n -11 \; ?

Et as-tu réussi à justifier \; 5n-11 n+1 \; ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 10:38

Je n'ai pas très bien compris la deuxième question dois déjà initialiser pour n=3 , 5*3-11=4 et 3+1=4 c'est donc vrai pour n=3 ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:01

Je n'arrive pas à savoir où est Un et ce qu'est Un+1 je suis un peu perdu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:07

Oui, l'initialisation n'avait pas l'air de te poser de problème.
Mais ce que tu as écrit à 22h29 n'est pas clair.
Il s'agit de vérifier \; un n \; pour \; n = 3 .
C'est à dire \; u3 3 .
Comme tu as calculé \; u3 , c'est facile à vérifier.

Je redemande : Et as-tu réussi à justifier \; 5n-11 n+1 \; ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:10

Tu as correctement calculé les premiers termes de la suite ; tu n'es donc pas si perdu que ça

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:11

Ok d'accord donc U33 -> 563

Pour 5n-11n+1 c'est pas 5*3-11=4 et 3+1=3 mais après que faire de ces informations ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:12

* toute petite erreur de ma part c'est bien sure 3+1=4

Posté par
fenamat84
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:20

Bonjour,

L'initialisation est triviale : tu l'as déjà fait
Pour n=3, U3 = 56 3, donc c'est vrai au rang 3.

Pour l'hérédité, tu supposes la proposition vraie au rang n, à savoir pour tout n3, Un n.
Et tu dois démontrer qu'elle est vraie au rang n+1, soit encore pour tout n3, Un+1 n+1.

Tu pars donc de Un+1 = 3Un + 2n - 11
Et c'est à ce moment que tu vas utiliser ton hypothèse de récurrence : Un n
Donc que devient Un+1 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:23

Rebonjour fenamat84,

Était-il vraiment utile que tu répondes en moins de 10 minutes ?

A LIRE AVANT DE POSTER OU DE RÉPONDRE, MERCI
As-tu lu dans le message ci-dessus "Un rappel des règles plus particulières pour ceux qui désirent apporter de l'aide" ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:26

Bonjour ne devient il pas 5n-11 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:27

Encore à fenamat84,

Citation :
à savoir pour un n3, Un n
Si tu écris "tout" à la place du "un", tu supposes la conclusion finale de la démonstration par récurrence.

Merci de ne plus intervenir dans ce sujet.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:34

@KylianMBAPPE,

Tout d'abord, la démonstration de \; 5n-11 n+1 \; :
Pour démontrer une inégalité du type \; A B , il est souvent efficace de s'intéressser au signe de \; A - B .
Ici : 5n-11 - (n+1).
A réduire et factoriser par 4.

Pour l'hérédité :

Citation :
Supposons que pour un n de , avec \; n 3 , on ait \; un n .
Que peux-tu alors dire de \; 3un \; ?
Puis de \; 3un + 2n -11 \; ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:35

Ok donc qu'elle démarche dois-je entreprendre ?

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 11:45

5n-11 -n-1 = 4n-12
En facteur devient 4(n-3)

Pour l'hérédité
3Un c'est 3*7=21
3Un+2n-11 ressemble à 5n-11 peut être ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 12:00

Citation :
5n-11 -n-1 = 4n-12
En facteur devient 4(n-3)
5n-11 - (n+1) = 4(n-3)
Termine la démonstration.

Citation :
3Un c'est 3*7=21
Non.
Si \; un n \; alors \; 3un ...

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 12:03

4(n-3) 0 et c'est vrai pour 4(3-3)=0

Si Unn, alors 3Un3n ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 12:11

Citation :
c'est vrai pour 4(3-3)=0
Tu ne justifies pas 4(n-3) 0.
Quel est le signe de n-3 ?

Citation :
Si Unn, alors 3Un3n ?
Oui.

Essaye d'abord de démontrer correctement que
pour tout n3 , on a 5n-11 n+1.

On continuera sur la récurrence après.

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 12:22

Pour n3 , on a 5n-11n+1
On fait 5*3-11=4 et 3+1=4 c'est donc vrai

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 12:28

Je reprend car ça devient brouillon  , l'énoncé demande de calculer U1= 10, U2=21,U3=56

Démontrer par récurrence que pour tout n3,  Un3,( indication , on justifiera que pour tout n3 , on a 5n-11n+1

Pour l'initialisait on a U33 donc eguale 563  

A présent que faire ? 3Un3n ? 4(n-3)0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 12:33

Citation :
On fait 5*3-11=4 et 3+1=4 c'est donc vrai
Tu n'as rien démontré.
Citation :
Tu ne justifies pas 4(n-3) 0.
Quel est le signe de n-3 ?


Pause déjeuner.

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:02

Unn , 3Un3n , 3Un +2n5n , 3Un+2n-115n-11
Un+15n-11 ? Après que dois je faire ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:09

Utiliser l'indication de l'énoncé.

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:14

Un+14(n-3) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:18

N'écris pas n'importe quoi.

Citation :
indication , on justifiera que pour tout n3 , on a 5n-11n+1

Je ne vais plus être disponible avant ce soir.
Un autre îlien prendra peut-être le relais.

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:20

Ok ça va merci

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:24

Si quelqu'un veut bien m'aider je ne comprend pas la suite j'ai prouvé que Un+15n-11 , je ne comprend pas comment faire 5n-11n+1

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 15:54

Je cherche mais j'arrive pas à comprendre

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 16:43

S'il vous plaît aider moi je dois le rendre pour demain et j'ai d'autre devoirs , j'ai même pas fini la question 2 ,

Posté par
KylianMBAPPE
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 16:44

Je suis dessus depuis hier je suis désespéré

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration par récurrence 19-09-21 à 20:29

Citation :
j'ai prouvé que Un+1 5n-11 , je ne comprend pas comment faire 5n-11 n+1
Je reprends depuis le début la démonstration de 5n-11 n+1 si n 3 :
(5n-11) - (n+1) = 4(n-3)
Si n 3 alors n-3 0 ; donc 4(n-3) 0.
D'où :
Si n 3 alors (5n-11) - (n+1) 0 ; donc 5n-11 n+1.



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