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Démonstration par récurrence

Posté par
paulonium
05-10-22 à 15:21

Bonjour, je n'arrive à répondre à cette question de mon dm, on me demande de déduire que An+1=0,6An+0,3 en connaissant An+1=0,9An+0,3Bn ; A0 = 0,4 ; B0 = 0,6

Posté par
hekla
re : Démonstration par récurrence 05-10-22 à 15:46

Bonjour

Peut-on avoir le texte complet de l'exercice ?

Posté par
paulonium
re : Démonstration par récurrence 05-10-22 à 16:06

Démonstration par récurrence
je croyais que les images étaient interdites

Posté par
hekla
re : Démonstration par récurrence 05-10-22 à 16:17

Oui, elles le sont.
Les renseignements que vous avez donnés étaient assez sommaires pour savoir de quoi il s'agissait
Vous devriez recopier les premières lignes et dire ce que vous avez déjà effectué.

Posté par
paulonium
re : Démonstration par récurrence 05-10-22 à 16:31

j'ai réussi la 1 et la 3

Posté par
hekla
re : Démonstration par récurrence 05-10-22 à 16:49

On suppose que le nombre d'ascenseurs est constant

 a_n+b_n= a_0+b_0=1

Posté par
malou Webmaster
re : Démonstration par récurrence 05-10-22 à 17:01

Bonjour

paulonium @ 05-10-2022 à 16:06


je croyais que les images étaient interdites


oui, postée ainsi sans les premières lignes, elle est interdite
Recopie en réponse à mon message les premières lignes (cela sert au référencement du sujet)
Merci

Posté par
paulonium
re : Démonstration par récurrence 09-10-22 à 12:23

voici l'énoncé du texte, excusez les erreurs de signes, je ne connais pas les commandes pour les faire :/

Exercice 2: Évolution de marché et suites croisées
On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2022.
Pour chacun d'eux, un entretien annuel doit être réalisé. Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce travail. En 2022, la société A entretient 40 % des ascenseurs.
On estime que, chaque année :
• 10% des ascenseurs entretenus par la société A seront entretenus par la société B l'année sui-vante;
• 30% des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l'année sui-vante;
. les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés A et B.
On note an la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A pendant l'année 2022 + n.
De même, on note b, la proportion d'ascenseurs entretenus par la société B lors de l'année 2022 + n.
1) Justifier que ao = 0,4 et bo = 0,6 et que, pour tout n E IN, an+1 = 0,9a, + 0,3b, •
2) En déduire que, pour tout n E N, an+1 = 0,6a, + 0,3.
3) a) Montrer, par récurrence, que pour tout n E N, 0,4 < an < an+1•
b) En déduire la monotonie de la suite (a.) puis celle de la suite (b,).
4) Soit (cn) la suite définie, pour tout n E N, par Cn = an - 0,75.
a) Montrer que la suite (cn) est géométrique.
b) En déduire l'expression de c. en fonction de n.
c) En déduire les expressions de an et de b, en fonction de n.
d) Déterminer la limite de la suite (an) et l'interpréter avec le contexte.

Posté par
hekla
re : Démonstration par récurrence 09-10-22 à 12:42

Vous avez dans \Pi une liste de symboles.

Qu'avez-vous effectué ?  Je vous ai donné une indication.

Posté par
hekla
re : Démonstration par récurrence 09-10-22 à 12:45

https://www.ilemaths.net/img/forum_img/0800/forum_800811_2.png

Posté par
paulonium
re : Démonstration par récurrence 09-10-22 à 12:52

hekla @ 09-10-2022 à 12:42

Vous avez dans \Pi une liste de symboles.

Qu'avez-vous effectué ?  Je vous ai donné une indication.


j'ai répondu à la question 1) ; 3a) et 3b)

ma réponse à la question 3b) est la suivante :  

an+2 > an+1
0,6(an+1)+0,3 > 0,6ak+0,3
0,6(0,6ak+0,3)+0,3>0,6ak+0,3
0,6ak+0,3>ak

Posté par
hekla
re : Démonstration par récurrence 09-10-22 à 13:06

L'indication était pour la question 2.

Si vous avez montré que 0,4<a_n<a_{n+1}
alors la suite (a_n) est croissante.

À quoi servent vos inégalités avec un mélange de n et de k



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