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Démonstration par récurrence

Posté par
Lily7878 28-12-23 à 16:09

Bonjour, j'ai un exercice où je n'arrive pas à avancer.
Il s'agit de la démonstration par récurrence.
J'espère que vous pouvez me donner un coup de main. Je vous remercie d'avance.

Soit (Un) la suite définie, pour tout n appartient à Naturel, par Un = (n-1)^2+(-1)^n×n
1. Montrer que pour tout n appartient à Naturel, Un >n^2 (inégalité non strictement)
2. En déduire la limite de la suite (Un)



PS : j'ai déjà commencé :
•Initialisation :
On a U⁰ = 1 (j'ai calculé en remplaçant n par 0) et on a U1 = 3 Donc on a bien Un >n^2  P(n) est vraie au rang 0
•Hérédité ;
Soit k appartient à N on suppose que P(k) est vraie c'est à dire Uk>k^2 Montrons que P (k+1) est vraie c'est à dire Uk+1 > (k+1)^2
On a donc Uk>k^2
( c'est à partir d'ici je suis bloquée)

Merci d'avance.

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:23

Bonjour,
Bizarre ...

Si u_n =(n-1)^2+(-1)^nn, peux-tu calculer u_1 ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:29

U1 c'est à dure (1-1)^2 +(-1)^1 × 1 ça fera probablement -1

J'ai donc fait une erreur

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:31

Le problème-1 ne peut pas être supérieur à 1^2...  d'où l'initialisation

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:31

Oui, u_1=-1 et donc, ta propriété est fausse pour n=1
Je ne sais pas trop quoi dire à part une erreur d'énoncé ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:37

c'est un exercice sur le manuel... ( j'ai recopié sans faute pourtant...) après normalement je pense nous devrons faire plutôt le théorème de comparaison... avez vous une idée ? Merci d'avance

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:39

oh monsieur, en effet j'ai faitune faute excusez moi. toutes mes excuses c'est plutôt (n+1)^2 + (-1)^n x n
toutes mes excuses

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:43

Mais le problème,  c'est que ton énoncé est faux :
Il est demandé de prouver que pour tout n entier naturel , u_n\geq n^2.
C'est faux pour n=1 mais c'est aussi faux pour la suite :
u_2=3 et n'est pas supérieur à 4.
u_3=1 et n'est pas supérieur à 9
et pour la suite, pareil.
On ne peut pas faire grand chose !

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:45

En effet tout ca parce que j'ai mal recopié. Je m'excuse sincèrement...

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:46

Ah ! Alors là la récurrence n'est peut-être pas justifiée :

u_n=(n+1)^2+(-1)^nn\geq (n+1)^2-n
Que vaut (n+1)^2-n après développement ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:50

cela vaut n^2 + n + 1

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:50

Et ce ne serait pas plus grand que n^2 ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:54

c'est vrai c'est plus grand que n^2 mais je ne comprend pas comment vous faites pour trouver (n+1)^2- n ?

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 16:58

Voyons, suivant la parité de n (pair ou imapir) :

u_n=(n+1)^2-n (si n est impair).
u_n=(n+1)^2+n (si n est pair).

Dans tous les cas, n'a-t-on pas u_n\geq (n+1)^2-n  (c'est à dire supérieur au plus petit des deux) ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:03

ah d'accord donc on peut enlever (-1)^n en fonction de la parité ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:05

je pensais que (n+1)^2 - n > n^2

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:06

16h58 prouve que u_n\geq (n+1)^2-n (avec égalité lorsque n est impair)

Donc u_n\geq n^2+n+1\geq n^2
Ta question 1) est teminée

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:10

d'accord merci beaucoup.
Donc pour le 2, on déduit que lim Un = plus infini

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:12

Oui avec le théorème relatif aux croissances comparées.

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:14

je suis désolée si je vous dérange mais le message 16h58 j'arrive pas à comprendre

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:22

Si n est impair, (-1)^n=-1 et u_n=(n+1)^2-n
Si n est pair, (-1)^n=1 et u_n=(n+1)^2+1

On a couvert tous les cas possibles pour n ; pair ou impair.
Je pense qu'il est clair que (n+1)^2+n\geq (n+1)^2-n
Et dans tous les cas, u_n est supérieur ou égal à la plus petite des deux expressions c'est à dire :

   u_n\geq (n+1)^2-n

Non ?

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:24

Zut ! une erreur :

Citation :
Si n est impair, (-1)^n=-1 et u_n=(n+1)^2-n
Si n est pair, (-1)^n=1 et u_n=(n+1)^2+n

On a couvert tous les cas possibles pour n ; pair ou impair.
Je pense qu'il est clair que (n+1)^2+n\geq (n+1)^2-n
Et dans tous les cas, u_n est supérieur ou égal à la plus petite des deux expressions c'est à dire :

   u_n\geq (n+1)^2-n

Non ?

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:26

Donc Un est égal (n+1)^2 +n si n est pair ?

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:28

Je crois que c'est bien ce que j'ai écrit (après rectification)

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:30

donc ca dépend de la parité, je comprends mieux grâce à vous. Mais une question, il s'agit de quoi ici si c'est pas une démonstration par récurrence ?

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:33

C'est une comparaison de deux suites :

Avec la suite (v_n)  définie par v_n=n^2, on a prouvé que pour tout n entier naturel, u_n\geq v_n

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:36

d'accord merci, donc on est obligé d'écrire Vn ?  ou c'est pas nécessaire ? merci
Est ce que nous pourrons continuer avec un autre exercice ? sur le même thèmebien sur

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:41

Citation :
d'accord merci, donc on est obligé d'écrire Vn ?


Pas vraiment : tu as prouvé que pour tout n entier naturel, u_n\geq n^2 ce qui te permet d'appliquer le théorème du cours pour 2) : \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty

Nouvel exercice --> Nouveau fil. C'est la règle sur l'
Je ne te garantis pas que j'y répondrai mais il est certain que tu auras des réponses ...

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:43

merci beaucoup !!
pour le  2 j'ai mis plus infini parce que parce que n^2 est plus infini...
je ne sais pas si ma justification est bonne ou pas?
sinon merci pour ce rappel, alors je ferai un nouveau sujet? merci beaucoup

Posté par
lakere : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:48

\forall n\in\mathbb{N},\quad u_n\geq n^2

\lim\limits_{n\to +\infty}n^2=+\infty

Les théorèmes de comparaison du cours permettent d'affirmer que \lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty

Oui, oui, nouveau sujet surtout !

Posté par
Lily7878re : Démonstration par récurrence 28-12-23 à 17:54

merci sincèrement d'avoir pris de votre temps pour m'aider. ( je viens de faire un nouveau sujet), je vous remercie et à bientôt si vous preferez faire la pause.  


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