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Demonstration par recurrence- divisibilité

Posté par
martizic
07-03-21 à 21:55

* Modération >   *** Bonjour *** *

Demontrez par recurrence que, pour tout entier naturel n, 9^n - 2^n est divisible par 7.

J'ai reussit a faire l'initialisation et donc prouvez que P(0) est vrai mais je n'arrive pas a faire l'heredite.

Merci de bien vouloir m'aider!

Posté par
ciocciu
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 22:02

Salut
Hérédité 9n-2n est divisible par 7
Donc c'est = quoi ?

Posté par
gerreba
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 22:02

Bonsoir ,Au rang suivant (n+1) ,que se passe-t-il ?

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 23:03

9^n - 2^n = 7k

Donc 9^n+1 - 2^n+1 = 9x9^n - 2x2^n

Posté par
gerreba
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 23:05

On peut écrire:9*9^n-9*2^n+9*2^n-2*2^n   (astuce classique...)

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 23:15

okk,
j'ai reussit a prouver que :
9^n+1 - 2^n+1 = 7 (9^n + 2k)

Est-ce que j'ai finit dcp?

Posté par
gerreba
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 23:17

Qui est un multiple de 7 .Oui bien sûr .

Posté par
gerreba
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 07-03-21 à 23:18

J'aimerais voir le détail...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 08-03-21 à 08:09

Bonjour,

Citation :
9^n - 2^n = 7k

Donc 9^n+1 - 2^n+1 = 9x9^n - 2x2^n
Le "Donc" est incorrect :
Aucun lien entre les 2 égalités.

Citation :
9^n+1 - 2^n+1 = 7 (9^n + 2k)
C'est faux.

Citation :
dcp
A décrypter

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 08-03-21 à 17:59

D'accord,
Peux-tu m'aider du coup stp?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 08-03-21 à 18:15

Ça veut dire quoi dcp ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 08-03-21 à 18:19

Comment arrives-tu à 9n+1 - 2n+1 = 7 (9n + 2k) ?

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 08-03-21 à 23:20

9^n - 2^n = 7k

9^n+1 - 2^n+1 = 9*9^n - 2*2^n
= 7*9^n + 2*9^n - 2*2^n
= 7*9^n + 2 * (9^n - 2^n)
= 7*9^n + 2 * 7k
= 7*9^n + 14k
= 7 * (9^n  + 2k)

Or etant donne que (9^n  + 2k) est un entier naturel,

9^n - 2^n est divisible par 7

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 07:57

Là, c'est plus clair.
Sauf la conclusion :
Tu pars de "9^n - 2^n = 7k" et tu termines par "9^n - 2^n est divisible par 7".
Ce n'est pas comme ça qu'on rédige une hérédité.

On ne sait toujours pas ce que signifie dcp

Par ailleurs, je trouve dommage de demander une récurrence pour quelque chose qui se factorise facilement.

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 18:05

Dcp veut dire "ducoup"

Merci pour l'aide
je sais que je dois bien redige et finir ma demonstration par une conclusion!
Avouez-vous d'autres conseils?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 18:11

Je me suis trompée en écrivant que 9^n+1 - 2^n+1 = 7 (9^n + 2k) était faux.
Mais c'était vraiment parachuté.

Vas-tu finir par dire ce que signifie dcp

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 18:20

Le mot "dcp" est l'abreviation de "du coup"

Et quelle erreur as-tu faite?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 18:30

Merci pour la traduction (bien qu'un peu tardive).

Mon erreur :
9^n+1 - 2^n+1 = 7 (9^n + 2k) n'était pas faux mais parachuté.

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 18:46

J'avais deja donner la signification de dcp plus tot mais vous ne l'aviez pas vu...

A ton tour, peux-tu me dire ce que signifies le mot parachute en maths?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 19:04

C'est vrai, je viens de le voir à 18h20

En maths, "parachuté" signifie quelque chose comme "affirmé brutalement, sans justification".
Dans la vie courante, on parle de quelqu'un qui est "parachuté" s'il est nommé à une fonction, ou en un lieu, à l'improviste, de manière inattendue.

Posté par
martizic
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 09-03-21 à 22:33

Ok merci beaucou!
Et merci pour l'aide!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Demonstration par recurrence- divisibilité 10-03-21 à 07:53

De rien



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