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Niveau seconde
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Démonstration sqrt2 + sqrt3

Posté par
Inglesk
30-09-15 à 20:41

Bonjour,

Je suis en 2nde et je viens chercher de l'aide car je ne trouve pas la réponse à une partie d'un exercice de DM, malgré de nombreuses recherches personnelles et sur le net.
Voici l'énoncé :
1. En vous inspirant de la démonstration de l'irrationalité de sqrt(2) démontrez que sqrt(6) est irrationnel.
J'ai fait cette première partie en me servant du même lemme que pour sqrt(2), c'est-à-dire que si n est pair, alors n2 est pair aussi et vice-versa. Ici, j'ai dit que comme a2/b2 = 6, a2 = 6b2 et a2 = 2x3b2, donc a2 et a sont pairs.
Puis j'ai continué avec "on choisit de noter a = 6c" donc 6 = (6c2)/b, d'où 6b2 = 36c2 et b2 = 6c2, donc b2 = 2x3c2, donc b2 et b sont pairs.

Pourriez-vous me confirmer que je bien utiliser ce lemme pour cette démonstration ou est-ce que je fais fausse route ? Merci d'avance !

MAIS SURTOUT, j'ai un gros problème avec la 2ème question :
2. Si un nombre est rationnel, que peut-on dire de son carré ? La réciproque est elle vraie ?
J'ai dit que si n est rationnel, alors n2 l'est aussi, mais que si n est rationnel, sqrt n n'est rationnel que si n est un carré. Faut-il préciser "parfait" ou non ? Et est-ce que ça vous semble bon vu l'énoncé ?

ENFIN, dernière question :
3. déduire des questions précédentes que (sqrt(2)+ sqrt(3))
est irrationnel.

Là, je suis vraiment perdue : est-ce que je peux juste dire que si sqrt(2) et sqrt(3)'sont irrationnels, leur somme l'est aussi ?
J'ai vu sur le net que la démonstration sur sqrt(6) est utile pour cette démonstration mais je n'ai pas compris pourquoi. Quelqu'un pourrait-il me l'expliquer ?

Je remercie par avance tous ceux qui prendront le temps de me lire, de me répondre ou encore mieux, de m'expliquer !

Posté par
GreenT
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 30-09-15 à 22:05

Bonjour ;

Citation :
Puis j'ai continué avec "on choisit de noter a = 6c"

Pourquoi a=6c ? Tu as juste montré que a était pair , mais pas que a était un multiple de 6. L'idée de la démonstration reste la même , mais il faudrait plutot poser a=2c.
Citation :
mais que si n est rationnel, sqrt n n'est rationnel que si n est un carré. Faut-il préciser "parfait" ou non ?

Tu peux juste exhiber un contre-exemple pour montrer que la réciproque est fausse.
Citation :
est-ce que je peux juste dire que si sqrt(2) et sqrt(3)'sont irrationnels, leur somme l'est aussi ?

La méthode est de montrer que (\sqrt{2} + \sqrt{3}) ^2   est irrationnel , puis utiliser la question précédente. (Raisonner par l'absurde. Encore.)

Posté par
Inglesk
Réponse 30-09-15 à 23:45

Merci beaucoup GreenT, ça m'a permis de comprendre pour la 3eme partie là où je bloquais ! Ca donne 5 + 2xsqrt(6), c'est ça ? Et comme sqrt(6) est irréductible, du coup 5 + 2xsqrt(6) l'est aussi, c'est bien ça ?

Mais pour la 1, je ne peux pas m'en sortir avec a = 2c, parce que sinon je me retrouve après avec b2 = 2/3 c2 et là, je ne sais pas si je peux dire que b2 est pair, or il faut que je puisse le dire pour demontrer que la fraction a/b est réductible.
Ou alors, est ce que je peux tout simplement dire que b2 est pair car il est égal à 2xc2/3 ?

Posté par
Inglesk
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 30-09-15 à 23:46

Je voulais dire sqrt(6) est irrationnel, pas irréductible, mais il est tard et j'ai passé l'après-midi dessus, désolée...

Posté par
Inglesk
Complément de question 30-09-15 à 23:54

Par rapport au 2 de l'exercice, j'ai un nouveau doute : dois-je dire que le carré d'un irrationnel est lui-même irrationnel ?
En vertu de quoi puis-je l'affirmer ?

Merci encore de votre attention et bonne nuit !

Posté par
GreenT
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 30-09-15 à 23:57

Citation :
Et comme sqrt(6) est irréductible, du coup 5 + 2xsqrt(6) l'est aussi, c'est bien ça ?

Si 5+2 \sqrt{6} était rationnel , alors on peut montrer que \sqrt{6} le serait aussi , or ce n'est pas le cas , donc 5+2 \sqrt{6} est irrationnel..
Citation :
Mais pour la 1, je ne peux pas m'en sortir avec a = 2c, parce que sinon je me retrouve après avec b2 = 2/3 c2 et là, je ne sais pas si je peux dire que b2 est pair, or il faut que je puisse le dire pour demontrer que la fraction a/b est réductible.
Ou alors, est ce que je peux tout simplement dire que b2 est pair car il est égal à 2xc2/3 ?

Non car rien ne nous dit que c²/3 est un entier. Evite les fractions. Tu peux t'en sortir simplement.  3b^2 = 2c^2 , donc 2  divise  3b^2 , or 2 et 3 sont premiers entre eux , donc  2  divise b^2 ... (ou sinon , tu peux remarquer que si b était impair alors  3b^2 serait aussi impair , or l'égalité nous montre que 3b^2 est pair , donc b ne peut pas être impair)

Posté par
GreenT
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 01-10-15 à 00:00

Citation :
Par rapport au 2 de l'exercice, j'ai un nouveau doute : dois-je dire que le carré d'un irrationnel est lui-même irrationnel ?


Le carré d'un rationnel est rationnel. Mais le carré d'un irrationnel n'est pas forcément irrationnel ( Exemple \sqrt{2 )

Posté par
Inglesk
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 01-10-15 à 12:59

Merci à nouveau Green T.
Une dernière question, j'espère !
Pour le 3, on a obtenu, avec le raisonnement par l'absurde, que
[sqrt(2) + sqrt(3)] au carré est irrationnel, mais comment est-ce que je peux dire que sqrt(2) + sqrt(3) est irrationnel ?

---> est-ce que si un nombre est irrationnel, sa racine l'est forcément aussi ?

Et si je ne peux pas dire ça, qu'est-ce que je peux dire pour passer du carré au nombre de départ sqrt(2) + sqrt(3) ?

Merci d'avance !

Posté par
GreenT
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 01-10-15 à 13:18

Re-bonjour ;

Encore une fois , il faut penser au raisonnement par l'absurde. Si \sqrt{2} + \sqrt{3} était rationnel , alors...

Posté par
Inglesk
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 01-10-15 à 18:15

Alors (sqrt (2) + sqrt (3)) au carré serait irrationnel aussi, puis on démontre qu'en effet le carré est irrationnel et hop, c'est bon ?
Mais comment ça se combine avec ce que vous disiez plus haut : le carré d'un irrationnel n'est pas forcément irrationnel ?

Merci encore !

Posté par
GreenT
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 01-10-15 à 18:22

Non , tu te mélanges un peu entre "rationnel" et "irrationnel" là.
On doit juste se servir du fait que le carré d'un rationnel est rationnel.
Si \sqrt{2}+\sqrt{3} était rationnel , alors  (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2  serait aussi rationnel , or on a montré qu'il était irrationnel..

Posté par
Inglesk
re : Démonstration sqrt2 + sqrt3 01-10-15 à 21:52

Merci beaucoup pour toutes les explications et pour vos réponses rapides.



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