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Démonstration théorème d'Euler

Posté par
eduardo 11-04-13 à 19:49

Bonjour à tous,

Je vous écris car j'essaie en vain de démontrer le théorème d'Euler qui dit :
Si p est un nombre premier, alors \forall a\ a^{(p-1)/2} \equiv (\frac{a}{p})(mod p) (ou (\frac{a}{p})   est le symbole de Legendre)

Je ne sais pas trop commencer, en supposant qu'il existe un a tel que l'égalité n'est pas vérifiée mais ou cela me mene-t-il ?

Merci d'avance.

Posté par
Bachstelzere : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 19:54

Il n'y a que deux cas à considérer : a est un carré mod p ou pas...

Posté par
Bachstelzere : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 19:55

Si a est un carré, que vaut a^{(p-1)/2} ? Et si a n'est pas un carré ?

Posté par
eduardore : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:07

Tout d'abord merci pour votre réponse aussi rapide.

Donc si a est un carré mod p on a : \exists k\ tq\ a\equiv k^2\ (mod\ p) .
Mon problème est que je ne vois pas ce que cela induit sur a^{(p-1)/2} ?

Encore merci

Posté par
Bachstelzere : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:10

Un peu de sérieux... a = k^2, donc a^{(p-1)/2} = (k^2)^{(p-1)/2} = \cdots

Posté par
Bachstelzere : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:12

Pour le cas où a n'est pas un carré, il faut montrer d'abord que a^{(p-1)/2} ne peut pas valoir 1, et ensuite qu'il vaut alors forcément -1.

Posté par
eduardore : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:20

Ah oui effectivement, je crois qu'il faut que je revois certaines choses en arithmétiques modulaires...
Je ne pensais pas qu'on pouvait écrire une égalité stricte entre a et k d'après ce que j'avais écris plus haut, veuillez m'excuser.
Donc a^{(p-1)/2} = k^{(p-1)}   très bien, et ceci est forcément congru à k^2\ (mod\ p) d'ou une contradiction ?

Posté par
Bachstelzere : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:24

Non, k^{p-1} est forcément congru à 1 modulo p d'après le petit théorème de Fermat (donc égal à 1 dans \mathbf{F}_p...).

Posté par
Bachstelzere : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:26

P.S. : Quand j'écris a = k^2, l'égalité est évidemment dans \mathbf{F}_p. Dans \mathbf{Z}, c'est la congruence modulo p, cela revient au même...

Posté par
eduardore : Démonstration théorème d'Euler 11-04-13 à 20:29

Merci pour votre aide et ces précisions, je vais essayer de me débrouiller pour le second cas en esperant que je n'aurais plus à vous déranger de nouveau.

Une agréable soirée.


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