(x + y)^{[/sup]2=1[sup]}2
x^{[/sup]2+y[sup]}2=1-2xy1/2

je trouve xy1/2

  bonsoir
1/ on a: x²+y²-2xy=x(x-2y)+y²
                  =x(1-3y)+y²  puisque  x=1-y
                  =x+y(y-3x)
                  =x+y(1-4x)   puisque  y=1-x
                  =x+y-4xy
                  =1-4xy  
tu peux conclure maintenant
2/  1-2x²-2y²=x+y-2x²-2y²
             =x(1-2x)+y(1-2y)
             =x(y-x)+y(x-y)
             =-(x-y)²
tu peux conclure  

Bonjour kachouyab,

Très, très bien l'idée du 1).
Pour le 2)

Or

x[sub][/sub]2

pourquoi vous partez de x(au carré)+y(au carré)-2xy?
c'était une somme au départ

Bonjour tout le monde;
on a d'où
Sauf erreur bien entendu

bonsoir
pour elhor

Merci pour les réponses, pourriez vous me dire comment fauti-il choisir les réels pour qu'il y ait égalité?

x + y  = 1
xy ≤ 1/4,
x2 +  y2  ≥  1/2      (x2 = x au carré)

execusez moi, j'ai oublié de mentionner les réels à choisir qui sont x et y et voilà ma question corrigée :

pourriez vous me dire comment fauti-il choisir les réels x et y pour qu'il y ait égalité?

et encore un autre exercice qui n'a pas de relation avec le 1er, dans lequel on me demande de demontrer que la somme d'un réel strictement positif et de son inverse est toujours supérieure  ou égale à 2. Pour quel(s) réel(s) y a t-il égalité?

Remerciements

Avec x+y = 1

xy = x.(1-x) = x - x².

f(x) = x-x²
f '(x) = 1 - 2x

f '(x) > 0 pour x < 1/2 -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1/2
f '(x) < 0 pour x > 1/2 -> f(x) est décroissante.

f(x) est max pour x = 1/2, ce max = f(1/2) = (1/2)-(1/4) = 1/4

--> xy <= 1/4
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x + y = 1

(x+y)² = 1
x²+y²+2xy = 1
x²+y² = 1 - 2xy

et on a montré que xy <= 1/4
--> x²  +  y²   ≥  1 - 2(1/4)

x²+y² >= 1/2
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Si on veut xy = 1/4 -->
xy = x - x² = 1/4

4x² - 4x + 1 = 0
--> x = 1/2 et y = 1/2
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Si on veut  x²+y² >= 1/2

On trouve aussi x = y = 1/2
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Sauf distraction.  

la somme d'un réel strictement positif et de son inverse est toujours supérieure  ou égale à 2. Pour quel(s) réel(s) y a t-il égalité?

Soit x le réel.

(x-2)² >= 0 (par le carré)
x² - 2x + 1 >= 0
x²+1 >= 2x
et avec x > 0 , on divise les 2 membres par x sans changer le sens de l'inégalité.

x + (1/x) >= 2  

CQFD.
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Sauf distraction.  

Zut oubli: on a l'égalité pour :

x + (1/x) = 2
x² + 1 = 2x
x²-2x+1 = 0
(x-1)² = 0

soit pour x = 1
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