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Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan

Posté par
MatBIBI
23-04-19 à 14:39

Bonjour, dans cet exercice, le plan P est défini par :
x=1+t
y=3+t'
z=4+t+2t'
et la droite D par :
x=6-k
y=-4+2k
z=1+k
On nous demande d'abord si le point A de paramètre 0 de D appartient au plan P
J'ai trouvé que non, il n'y appartient pas
La deuxième question est la suivante : démontrer que la droite D est sécante au plan P
J'ai essayé de comprendre quelle méthode utiliser mais je n'y arrive pas, si quelqu'un pouvait me laisser un indice, une trace de réponse, ce serait top
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 14:53

salut

il suffit de résoudre le système :

6 - k = 1 + t
-4 + 2k = 3 + t'
1 + k = 4 + t + 2t'

...

Posté par
MatBIBI
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 19:02

D'accord et je trouve que le plan n'est pas sécant à la droite.
Merci

Posté par
Priam
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 19:24

Comment as-tu fait pour aboutir à ce résultat ?

Posté par
alb12
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 19:51

salut,
on se le demande !

Posté par
MatBIBI
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 20:36

Si pardon j'obtiens k=3 t=2 et t'=-1
En fait, c'est un exercice corrigé de mon livre et je ne comprenais pas la correction, voilà pourquoi j'ai posé la question ici. Et je vois que la résolution que vous avez trouvé est différente que celle proposée dans le livre qui entre autre définissent 2 vecteurs du plan P et un vecteur directeur de la droite D
Ils font ensuite la multiplication de chaque vecteurs par des coordonnées a,b et c et aditionnent chaque membre avec un résultat égal à 0
Puis ils résolvent l'équation et trouvent 0 pour a,b et c. Ils on déduisent que  les trois vecteurs ne sont pas coplanaires donc D n'est pas parallèle à P donc D et P sont sécants.
J'avais mal lu la réponse finale et avait donc prétendu avoir trouvé la réponse (qui du coup était mauvaise) en ayant fait l'exercice alors que c'était celle du livre.
Voilà tout
Dernière question, si la droite et le plan n'étaient pas séquents, quels seraient les résultats de l'équation?

Posté par
carpediem
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 21:52

je t'ai proposé une réponse "constructiviste" : pour montrer que D et P sont sécants j'ai cherché un point d'intersection ...

effectivement on peut travailler avec les vecteurs ...

quant à savoir quelles sont les positions relatives d'une droite et d'un plan dans l'espace ben tu prends une planche et une baguette et tu (les) regardes ... (cours de seconde)

Posté par
MatBIBI
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 23-04-19 à 22:14

D'accord donc nous ne pourrions pas conclure que la droite est parallèle au plan avec la méthode constructiviste?

Posté par
carpediem
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 24-04-19 à 09:22

ben si !!! en ne trouvant aucun point d'intersection !!!

Posté par
MatBIBI
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 24-04-19 à 09:58

Est-ce correct sur une copie de mettre
« nous ne trouvons aucun point d'intersection, donc le plan est parallèle à la droite » ?

Posté par
carpediem
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 24-04-19 à 11:44

oui ...

Posté par
MatBIBI
re : Démontrer l'intersection d'une droite avec un plan 24-04-19 à 22:00

D'accord Merci

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