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Démontrer par récurrence que f est derivable n fois

Posté par
ririfabre 08-09-22 à 22:35

Bonjour !
Nous travaillons le raisonnement par récurrence en ce moment et voici l'exercice qui me pose problème :
Soit f(x)=\dfrac{1}{2x-6} avec x3
Démontrer par récurrence que f est n fois derivable sur \{3} et que f^n(x)=\dfrac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}}

J'ai donc défini (Pn): Pour n*(est-ce bien *?), on note(Pn): f est n fois derivable sur \{3}
Je suppose qu'il faut réussir à trouver une formule pour ça mais laquelle ?
J'ai tout de même essayé de faire l'initialisation avec n=1 et on peut dériver f(x) donc la propriété est vraie pour n=1 mais quand à l'hérédité...je ne sais pas comment faire puisque je n'ai pas de formule dans laquelle remplacer n par n+1 (on en a une mais pour la 2e partie de la question et il s'agit seulement de démontrer qu'elle est dérivable...il doit y avoir quelque chose à faire avec ça mais je n'arrive pas à trouver quoi exactement)

Quand à la 2e partie de la question, j'ai réussi l'initialisation mais encore une fois démontrer l'hérédité me pose problème ...
On part de la formule de l'énoncé : f^n(x)=\dfrac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}} f^{n+1}(x)=\dfrac{(-2)^{n+1}(n+1)!}{(2x-6)^{n+2}}
démo :
f^n(x)=\dfrac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}}
f^{n+1}(x)=\left(\dfrac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}}\right)'
Jusque là je ne crois pas m'être trompée, mais lorsque on dérive \dfrac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}}, j'obtiens \dfrac{(-2n)^{n-1}n!(2x-6)^{n+1}-2(n+2)(2n-6)^n(-2)^nn!}{(2x-6)^{2n+2}}, ce que je vois mal se réduire à \dfrac{(-2)^{n+1}(n+1)!}{(2x-6)^{n+2}}...
Si vous pouviez m'aider, merci !

malou edit > ** plutôt utiliser \dfrac que \frac ce que j'ai fait dans ton message **

Posté par
LeHiboure : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 08-09-22 à 23:12

Bonjour,

Je ne comprends pas ta difficulté, puisqu'on a la bonté (!) de te donner le résultat à trouver...

Ayant vérifié l'initialisation, il te suffit de montrer que la dérivée de  f(n) est égale à f(n+1)

A moins bien sûr que tu n'aies pas compris la notation f(n), en oubliant les parenthèses qui indiquent la dérivation tu l'aurais prise pour fn, qui indique une puissance...

Posté par
LeHiboure : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 08-09-22 à 23:17

Petit rappel :

\left(\dfrac{k}{u^{n}}\right)'=\dfrac{-k.n.u'}{u^{n+1}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 09-09-22 à 08:20

Bonjour,

Citation :
il te suffit de montrer que la dérivée de f(n) est égale à f(n+1)
Heu, ça c'est plutôt une partie de la définition de dérivée n-ième, non ?

Citation :
on note(Pn): f est n fois derivable sur \{3}
Je conseille de tout traiter en même temps par récurrence.
Pn : f est n fois derivable sur \{3} et f^n(x)=\frac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 09-09-22 à 08:27

Remarque : (-2)^nn! est une constante quand on dérive par rapport à x.

Et \dfrac{(-2)^nn!}{(2x-6)^{n+1}} = (-2)^nn! \dfrac{1}{(2x-6)^{n+1}}.

Posté par
ririfabrere : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 09-09-22 à 09:52

LeHibou @ 08-09-2022 à 23:17

Petit rappel :

\left(\dfrac{k}{u^{n}}\right)'=\dfrac{-k.n.u'}{u^{n+1}}
  je ne connaissais pas la formule mais c'est sûr que ça marche tout de suite mieux !
LeHibou @ 08-09-2022 à 23:12



Ayant vérifié l'initialisation, il te suffit de montrer que la dérivée de  f(n) est égale à f(n+1)

J'avais bien compris mais sans cette formule je n'arrivais pas à retrouver f^{n+1}...

Sylvieg @ 09-09-2022 à 08:20



Citation :
on note(Pn): f est n fois derivable sur \{3}
Je conseille de tout traiter en même temps par récurrence.

Merci, c'est beaucoup plus court !

J'ai réussi l'exercice, merci beaucoup pour vos conseils

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 09-09-22 à 10:05

LeHibou @ 08-09-2022 à 23:17

Petit rappel :

\left(\dfrac{k}{u^{n}}\right)'=\dfrac{-k.n.u'}{u^{n+1}}
Ça vient de plusieurs formules :
k/D = k(1/D)
(ku)' = ku'
Et enfin (1/vn)' = -nv'/vn+1.
Cette dernière généralise (up)' = p up-1 u'
avec p = -n.

Posté par
carpediemre : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 09-09-22 à 10:21

salut

j'ai failli intervenir our proposer aussi cette alternative (puisque Sylvieg propose un truc)

première étape (comme Sylvieg)
deuxième étape :\dfrac 1 {u^n} = \dfrac 1 v avec v = u^n
puis \left( \dfrac 1 v \right)' = ...

et c'est d'ailleurs à partir de cette identité que Sylvieg peut proposer son raccourci (utilisant la généralisation de u^n à des exposants négatifs)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Démontrer par récurrence que f est derivable n fois 09-09-22 à 10:50

Bonjour carpediem
Puisqu'on en est dans les commentaires :

f(x)=\dfrac{1}{2x-6} = \dfrac{1}{2(x-3)} = \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x-3}
Qui permet d'obtenir une formule plus simple pour la dérivée n-ième :

f^n(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{(-1)^n\times n!}{(x-3)^{n+1}}


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