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Niveau troisième
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Démontrer q'un nombre es divisible par 111

Posté par
cilou37
02-11-06 à 19:55

Bonjour, j'ai une question à laquelle je n'arrive pas à répondre

Comment démontré qu'un nombre est divisible par 111???

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 20:19

bonjour,

En faisant la division avec reste (tu as une touche sur ta calculatrice)

Posté par
cilou37
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 20:28

Oui mais comment le démontré????

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 20:33

Et si tu nous donnais l'énoncé complet de ton exo ! On arriverait peut-être mieux à te répondre de façon constructive !

Posté par
cilou37
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 21:35

1.a.choisir 3 chiffres distincts parmi les 3 chiffres non nul existant
  b.Donner les différents nombre de 3 chiffres que l'on peut former en utilisant ces trois chiffres
2.Démontrer
que la somme des différents nombres de obtenus dans la Question 1.b est: a)divisible par 111
     b) divisible par la somme des 3 chiffres choisis à la question 1.a
3.Démontrer les question 2.a et 2.b pour nimporte quels chiffres a,b et c non nuls

J'ai choisi 2,7 et 9
279,297,972,927,729,792
La somme de tous ces nombres est 3996

Je sais que 3996 est divisible pas 111 mais je ne sais pas comment le démontrer...

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 21:53

Comment démontrerais-tu que 2 367 est divisibe par 789 ?

Utilise la même méthode pour montrer que 3 996 est divisible par 111

Posté par
cilou37
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 21:56

J'effectue la division????

Cela suffit pour démontrer???

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 22:03

bin oui

Posté par
cilou37
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 22:08

Mais pour la question 3 je dis qu'a partir di moment ou on me demande de choisir les chiffre logiquement ça marche pour n'importes quels chiffre a,b et c?????

Posté par
plumemeteore
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 22:14

bonjour Cilou
on découpe le nombre en tranches de trois chiffres en commençant par la gauche
on additionne les nombres formés par ces tranches (le nombre de gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres)
si la somme est supérieure à 999, on recommence avec la somme obtenue, sinon si elle se compose des trois mêmes chiffres, le nombre de départ est divisible par 111
par exemple 367188 -> 367 + 188 = 555; le nombre est divisible par 111
999, 999999, 999999999 etc sont divisibles par 111 (quotient : 1, 1001, 1001001, etc
si on retranche de 367188 le nombre 367*999. on obtient (367*1)+ 188, qui divisé par 111, donne le même reste que le nombre de départ. Donc 367188 est divisible par 111 si et seulement si 367+188 est divisible par 111
on peut étendre ce raisonnement à des nombres ayant plus de deux tranches (on soustrait 999999 fois le nombre de millions pour extraire le nombre simple, etc

le même critère de divisibilité vaut pour 37, 333 et 999

Posté par
plumemeteore
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 22:21

rebonsoir Cilou
je viens de comprendre ton problème initial
dans la somme de tous les nombres, 2 apparaît deux fois dans les centaines, deux fois dans les dizaines, deux fois dans les unités. S'il s'agissait du nombre 1, il contribuerait pour 222 dans la somme générale. S'agissant du 2, il contribue 2 fois plus.
7 contribue pour 7*222, 9 pour 222*9
la somme générale est donc 222*2 +222*7 + 222*9 = 222*(2+7+9) = 111*2*(2+7+9)
pour trois chiffres différents, la somme est 222 fois la somme de ces chiffres.

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 22:25

Bin là cela se complique un peu

Si tu choisis 3 chiffres différents a , b et c entre 1 et 9

les nombres ques tu peux écrire avec ces chiffres sont

"abc" , "acb" , "bac" , "bca" , "cab" , "cba"

donc en transcrivant en base 10  

"abc" = a x 100 + b x 10 + c
"acb" = a x 100 + c x 10 + b
"bac" = b x 100 + a x 10 + c
"bca" = b x 100 + c x 10 + a
"cab" = c x 100 + a x 10 + b
"cba" = c x 100 + b x 10 + a

donc quand on ajoute tout cela on trouve ....

dans cette somme on peut mettre 100 en facteur pour certains termes

puis 10 aussi et on regarde ce que cela donne

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 22:26

Mais je me demande vraiment combien d'élèves de 3ème seraient capables de trouver cela tout seul !

Posté par
cilou37
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 23:02

J'ai bien compris votre démonstration mais que voulez-vous dire par mettre 100 en facteurs pour certains termes puis 10 ??

Je ne vois pas qu'est ce que ça me permet de trouver?

Disons je ne comprends pas, pour moi cela reviens au même de mettre 100 en facteur et de ne pas le mettre!

Pouvez-vous m'expliquer?

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 23:16

X = "abc" +"acb"+"bac"+ "bca"+"cab"+"cba"
X = 100a + 10b + c + 100a + 10c + b + 100b + 10a + c+ 100b+ 10c + a + 100c + 10a + b + 100c + 10b + a

X = 100a +100a +100b + 100b +100c + 100c + 10b + 10c + 10a +10c + 10a + 10b + c + b + c + a + b + a

X = 100(a+a+b+b+c+c) + 10(b+c+a+c+a+b) + (c + b + c + a + b + a)

X = 100(2a + 2b + 2c) + 10(2a + 2b + 2c) + (2a + 2b + 2c)

X = 100(2a + 2b + 2c) + 10(2a + 2b + 2c) + 1(2a + 2b + 2c)

X = (2a + 2b + 2c) (100 +10 + 1)

et voila ... mais si un de tes copains de classe a trouvé c'est que quelqu'un l'a aidé (comme toi) !!!

A toi de voir si ton prof va te croire  ou s'il va comprendre qu'on t'a aidé

Posté par
plumemeteore
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 23:17

bonsoir Cilou
si tu récapitules le tableau de Bourricot (tu peux l'imprimer et te munir d'un crayon pour recenser), tu verras que le total des a est de 222, idem pour les b et pour les c; donc la somme cherchée est bien 222a + 222b + 222c
si on oublie de multiplier un a par 100, on n'aura au total que 122a et 122 n'est pas divisible par 111

à Bourricot
en Suisse, les écoliers sauraient probablement résoudre ce problème. Les écoles primaires francophones ont leur propre concours national de mathématiques, qui s'échelonne sur toute l'année et qui s'appellent les 'Noisettes' (on collectionne les points à la manière des écureuils)

Posté par
cilou37
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 23:19

Merci et l'aide n'est pas interdite, le principal c'est de comprendre...

Merci beaucoup pour moi c'est mission accompli, j'ai tout compris!!

Posté par
Bourricot
re : Démontrer q'un nombre es divisible par 111 02-11-06 à 23:25

plumemeteore,

Malheureusement cet exo est dans un livre de 3ème en France et les gamins sont complètement démunis devant ce genre de démonstration !! parce que cela ne ressemble à rien de ce qu'ils ont fait en classe !

Et il y a des profs assez pervers pour leur faire croire qu'ils sont capables de le faire alors qu'il suffirait de le faire en classe pour leur montrer qu'ils sont capables de le faire en leur donnant la clé de la résolution !

Mais on n'est pas là pour revolutionner la réflexion des profs de collège français !



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