Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Démontrer qu'un point appartient à un plan
Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice.
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB]; E et F sont tels que AE=(2/3)AC et AF=(2/3)AD. ( On parle des vecteurs AE, AC, AF et AD ). G est défini par BG=BC+BD( vecteurs).
Démontrer que G appartient au plan (IEF).
J'ai essayé de me placer dans le plan A,AB,AC,AD. Je trouve comme coordonnées : I( 1/2 ; 0 ; 0 ), E ( 0 ; 2/3 ; 0 ), F ( 0 ; 0 ; 2/3 ) et G ( -1 ; 1 ; 1 ). Je voulais voir si les vecteurs IF et EG étaient colinéaires mais je trouve que non, mais j'ai peut faire une erreur. Ce n'est peut-être pas la bonne méthode pour parvenir à prouver que G appartient au plan (IEF). Je ne sais pas comment faire.
Je vous remercie si vous avez une idée pour résoudre ce problème. Merci d'avance.
Tu pourrais répondre en montrant que le vecteur IG (par exemple) peut s'exprimer par une combinaison linéaire de deux vecteurs liés au plan (IEF) tels que IE et EF :
IG = aIE + bEF.
Pour déterminer a et b , exprime ces trois vecteurs en fonctions de vecteurs liés aux arêtes du tétraèdre, par exemple les vecteurs BA, BC et BD.
Bonsoir
Une équation cartésienne du plan (IEF)
ax+by+cz+d=0
1/2a+d=0
2/3b+d=0
2/3c+d=0
==>
4x+3y+3z-2=0
G(-1;1;1) vérifie l'équation du plan(IEF)
4*(-1)+3*1+3*1-2=0
bonjour
le plan (IEF) est défini par (I;IE;IF)
il faut montrer l'existance de a et b tel que IG=aIE+bIF?
I milieu de [AB] donc AI=(1/2)AB
AE=(2/3)AC donc IE=AE-AI=(2/3)AC-(1/2)AB=(-1/2)AB+(2/3)AC
EF=(2/3)AD donc IF=AF-AI=-(1/2)AB+(2/3)AD
BG=BC+BD donc AG=BG-BA=BC+BD-BA=(BA+AC)+(BA+AD)-BA=BA+AC+AD=-AB+AC+AD
donc
IG=AG-AI
=-AB+AC+AD-(1/2)AB
=(-3/2)AB+AC+AD
=(3/2)[-AB+(2/3)AC+(2/3)AD]
=(3/2)[((-1/2)AB+(2/3)AC)+((-1/2)AB+(2/3)AD)]
=(3/2)(IE+IF)
=(3/2)IE+(3/2)IF
donc il existe a=(3/2) et b=a=3/2 tel que IG=aIE+bIF
donc G €(IEF)
-----------
voila
Merci Labo mais nous n'avons pas encore vu l'équation cartésienne d'un plan mais merci quand même. Priam et Watik, vous m'apportez la même méthode, je la vérifie et je renverrai un message. Mais sa à l'aire de marcher. Merci beaucoup à vous trois, vous m'avez beaucoup aidé. Merci encore.
C'est peut-être une démonstration hors niveau terminale, mais c'est pour montrer qu'on peut se simplifier la vie.
G-B=C-B+D-B donc G=C+D-B
E-A= (2/3)(C-A) donc C=(3E-A)/2
F-A= (2/3)(D-A) donc D=(3F-A)/2
Et A+B=2I
Donc G=(3/2)E+(3/2)F-A/2-A/2-B=(3/2)E+(3/2)F-2I
Merci Watik sa marche parfaitement. jacques1313, je ne sais pas si c'est hors programme mais nous n'avons pas encore fais ça mais il est vrai que c'est largement plus rapide que la méthode que j'ai utilisée.
Annuler
connectez vous