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Niveau seconde
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Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme

Posté par
WWEFan42
18-02-10 à 21:16

Bonjour à tous et à toutes,

J'ai quelques difficultés à faire un exercice de DM. Le voici :

On donne A(3;2), B(2;5) C(-4;4) et D(-1;-4)
I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]

1°) Faire une figure (ca c'est bon ca ne m'a pas posé de difficultés)

2°) Calculer les coordonnés de I, J, K et L
    - J'ai pris la formule parc exemple pour xI = (xA+xB)/2. J'ai les résultats alors il me semble que
    I(2,5;3,5), J(-1;4,5), K(-2,5;0) et L(1;-1) C'est bon ?

3°) Démontrer que IJKL est un parallèlogramme de trois façons différentes :
    a. Avec des coordonnées de points (J'ai calculé le milieu des 2 diagonales j'ai trouvé (0;1,75) Est-ce que c'est bon ?
    b. Avec des coordonnés de vecteurs (J'ai démontrer que vecteurJI = vecteurLK de même pour vecteurKJ = vecteurLI) C'est ca ?
    c. Sans Utiliser de coordonnés (c'est la que j'ai de grandes difficultés je ne vois pas comment trouver sans coordonnées)

Voila .... Merci à tous ceux qui passeront du temps à m'aider.

Salut

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 21:27

    Bonsoir  Pour   3;b)   il suffit de montrer que Deux vecteurs opposés sont égaux ...  (les autres, ce n'est pas nécessaires)

Pour  3.a) Connaitre les coordonnées du centre n'apporte rien: montre que le centre de AC  est confondu avec le centre de BD .

Posté par
WWEFan42
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 21:32

Ah Jacqlouis !!! Je suis content !!! Tu m'as aidé plus d'une fois à faire mes DM !!

Pour 3°a j'ai démontre que JL et KI ont le même milieu donc j'ai conclus que IJKL est un parallèlogramme.
Je ne comprends pas trop ce que tu m'as dit "Connaitre les coordonnées du centre n'apporte rien: montre que le centre de AC  est confondu avec le centre de BD ."

Pour 3°b, en fait il faut juste démontrer par exemple que vecteurJI = vecteurLK. juste ca ?

Posté par
WWEFan42
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 21:40

Alors ????

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 21:51

    Oui, pour 3a)   il ne suffisait pas de donner les coordonnées du centre .... ce que j'avais cru .
    Mais en les déterminanr séparément , et en constatant qu'elles étaient les mêmes , c'est bon !

Pour 3b)  oui, cela suffit : deux vecteurs qui sont égaux ont les mêmes normes, et sont colinéaires. Cela suffit pour déterminer un parallèlogramme ..

Quant à ne pas utiliser les coordonnées, je ne comprends pas bien ...

Posté par
WWEFan42
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:01

Donc 3a c'est bon ce que j'avais fait ...

Et puis 3c je ne comprends pas du tout, je pense qu'il faut utiliser les parallèles parce qu'on a deja utilisé : le milieu des diagonales et cotes opposés égaux (deux des propriètés du parallèlogramme)

Et si je trace une droite qui passe par J et K puis je fais Pythagore et je conclus par "Si deux droites sont perpendiculaires ... alors elles sont parrallèles entre elles" Qu'en penses-tu ?

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:05

    mais si !...   Je n'avais pas vu le début de ton énoncé ....

Quand on joint les milieux des côtés d'un quadrilatère , on obtient un parallèlogramme . C'est la conséquence du théorème de la droite des milieux , appliqué 2 fois dans le quadrilatère ...

Posté par
WWEFan42
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:10

Oula attends

j'ai compris que si on joint les milieux des cotes du quadrilatère, ca nous donne un parallèlogramme mais "la conséquence du théorème des milieux" je ne vois pas !! Désolé

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:16

    Il faut revoir tes cours de Quatrième !...

Coupe le quadrilatère par la diagonale BD. Dans chaque triangle tu as les droites IL et JK qui joignent les milieux des côtés : ces droites des milieux sont parallèles à la base BD, donc parallèles entre elles ...
    Même topo si tu traces la diagonale AC: les droites des milieux JI et KL sont parallèles à AC, donc parallèles entre elles.
   Conclusion: le quadrilatère IJKL ayant ses côtés opposés parallèles entre eux, est un parallèlogramme .

Posté par
WWEFan42
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:19

Oh oui si je fais le théorème des milieux dans DCB je prouve que JK // DB puis je fais le théorème dans ABD je prouve donc que IC // BD.

Si deux droites sont // à une autre alors elles sont // entre elles, donc JK // IC et comme JK // IC, IJKL est un parallèlogramme.

Est-ce que'il faut que je prouve que KL // JI ?

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:40

    Eh oui, car quand on n'a que le parallèlisme des  côtés opposés, il faut montrer que les 4 côtés sont parallèles 2 à 2 (sinon ce serait seulement un trapèze! )...

Posté par
WWEFan42
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 18-02-10 à 22:58

Oui effectivement tu as raison Jacqlouis !!!

Encore une fois tu m'as sauvé la mise !!! merci à toi

Posté par
vanessou
Les vecteurs 01-01-11 à 16:02

Bonjoure J'aimerais avoir de l'aide carje nai pa beaucoup compris mon DM de Math je vai écrire L'énoncer

on considére les vecteurs a (-2sur 4) B (3 sur -2) c (-2sur 1) et d (o sur 3) une base (i;j)

déterminer les coordonnées des vecteurs u ,v ,w, x; et y définis par u=-3a; v=b+c ; w=2c+3d ;x=2a-4b et y =-3/2a +1/3d . Voila J'éspére que l'énoncer est claire
Merci d'avance a tous ceux qui maideront

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 01-01-11 à 16:12

    Bonjour; Vanessa .   Tu peux même dire " bonne année" , on n'est pas des  robots !...

Pourrais-tu préciser ce que tu veux dire par :  a (-2sur 4), B (3 sur -2) etc...  En général, il vaut mieux donner l'énoncé exact (comme c'est écrit dans les rêgles de bon fonctionnement du forum ...  que tu iras regarder ce soir !). Et de cette gaçon , l'énoncé sera clair !

Posté par
vanessou
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 01-01-11 à 17:31

Bonne Annéé et Bonne santé Oui escuze moi je voulai écrire comme c'est sur l'énoncer mai je ne peux pas.-2sur4 c'est une division (-2)
                                                                                                                                       4
                                                                

Posté par
jacqlouis
re : Démontrer qu'un quadrilatère est un parallèlogramme 01-01-11 à 18:10

    Je ne comprends tojours pas...   Si A, B, ... sont des points , il faut  une abscisse et une ordonnée pour les déterminer . Si ce sont des vecteurs, il faut aussi deux coordonnées , sinon on ne peut pas les tracer ...

Et que signifie " une division "?...   -2/4  , c'est cela ? c'est une fraction, tout simplement !

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